Apollonius

práce Apollonia z Pergy rozšířila pole geometrických konstrukcí daleko za rozsah prvků. Například Euclid v Knize III ukazuje, jak nakreslit kruh tak, aby se projít třemi body nebo dotýkající se dané tři řádky; Apollóniovi (v pracovním názvem Tangencies, které již přežije) nalezené kružnice dotýkající se tří daných kružnic, nebo tečnou k jakékoliv kombinaci tři body, čáry a kruhy. (Tři kružnice dotyku konstrukce, jeden z nejvíce široce studoval geometrické problémy, přilákala více než 100 různých řešení v moderním období.)

Apollonius je nejlépe známý pro jeho Conics, pojednání v osmi knihách (knihy I-IV přežívají v řečtině, V-VII ve středověkém arabském překladu; kniha VIII je ztracena). Kuželové sekce jsou křivky vytvořené, když rovina protíná povrch kužele (nebo dvojitého kužele). Předpokládá se, že povrch kužele je generován otáčením přímky pevným bodem kolem obvodu kružnice, která je v rovině neobsahující tento bod. (Pevný bod je vrchol kužele a otočená čára jeho generátor.) Existují tři základní typy: pokud je řezná rovina je rovnoběžná k jednomu z pozice generátor, produkuje parabola; pokud splňuje kužel pouze na jedné straně vrchol, vytváří elipsu (z toho kruhu je zvláštní případ), ale pokud to splňuje obě části kužele, produkuje hyperbola. Apollonius podrobně popisuje vlastnosti těchto křivek. Ukazuje se například, že pro dané úsečky a a b paraboly odpovídá vztahu (v moderní notaci) y2 = ax, elipsy, aby y2 = ax − ax2/b, a hyperbola, aby y2 = ax + ax2/b.

Apollóniovi pojednání o conics v části konsolidovaného více než sto let práce před ním a v části prezentovány nové poznatky z jeho vlastní. Jak již bylo zmíněno dříve, Euclid již vydané učebnice na conics, zatímco ještě dříve Menaechmus hrál roli v jejich studiu. Jména, která Apollonius zvolil pro křivky (termíny mohou být u něj originální), naznačují ještě dřívější spojení. V pre-Euklidovský geometrie parabolē podle konkrétní operace, „aplikace“ z dané oblasti na daném řádku, ve kterém x je hledal takové, že ax = b2 (kde a, b jsou uvedeny linky); alternativně, x může být hledal takové, že x(a + x) = b2, nebo x(a − x) = b2, a v těchto případech, aplikace je řekl, aby byl v „přebytek“ (hyperbolē) nebo „vada“ (elleipsis) podle množství čtvercový obrázek (a to, x2). Tyto konstrukce, které představují geometrické řešení obecné kvadratické, se objevují v Knihách I, II, v a VI Prvků a mohou být spojeny v nějaké formě s 5. století Pythagoreans.

Apollonius představil komplexní přehled vlastností těchto křivek. Vzorek z témat byl zahrnuje následující: vztahy spokojen průměry a tečny kuželosečky (Kniha I); jak hyperbolas jsou spojené s jejich „asymptoty,“ řádky mají přístup, aniž by se potkali (Kniha II); jak nakreslit tečny k dané kuželosečky (Kniha II); vztahy akordů, protínající se v conics (Kniha III); stanovení počtu způsobů, v němž conics mohou protínat (Kniha IV); jak k tomu „normální“ linky na conics (to znamená, že linky setkání s nimi v pravém úhlu; Kniha, V); a shoda a podobnost conics (Kniha VI).

Apollóniovi je explicitní prohlášení, že jeho výsledky mají hlavní využití jako metody pro řešení geometrických problémů prostřednictvím conics. Zatímco ve skutečnosti vyřešil pouze omezený soubor problémů, řešení mnoha dalších lze odvodit z jeho vět. Například věty knihy III umožňují určení kuželů, které procházejí danými body nebo jsou tečné k daným čarám. V další práci (nyní ztracený) Apollóniovi vyřešil problém zdvojení krychle o conics (řešení nějakým způsobem souvisí, že dané Menaechmus); dále řešení problému roztrojení úhlu vzhledem Pappus může pocházet z Apollóniovi nebo byla ovlivněna jeho práce.

S předstihem oblasti geometrické problémy Euclid, Apollóniovi, a jejich následovníci, to bylo vhodné zavést klasifikaci režimu: tyto problémy řešitelné pomocí kuželů byly nazývány pevné, zatímco ty řešitelné pouze pomocí kruhů a čar (jak se předpokládalo v Euclidových prvcích) byly nazývány planární. Takto lze čtverec zdvojnásobit rovinnými prostředky (jako v prvcích, kniha II, návrh 14), ale nelze zdvojnásobit kostku takovým způsobem, i když je možná pevná konstrukce (jak je uvedeno výše). Podobně je průsečík libovolného úhlu rovinnou konstrukcí (jak je znázorněno v prvcích, kniha I, návrh 9), ale obecná trisekce úhlu je pevného typu. Není známo, kdy klasifikace byla poprvé zavedena, nebo když rovinné metody byly přiřazeny kanonické postavení ve vztahu k ostatním, ale zdá se pravděpodobné, k dnešnímu dni to u Apollóniovi. Opravdu, hodně z jeho práce—knihy jako Tangencies, Vergings (nebo Sklony), a Plane Loci, nyní prohrál, ale dostatečně popsal Pappus—zapne projekt nastavení z domény rovinných konstrukcí ve vztahu k řešení jinými prostředky. Na základě zásad řecké geometrie, to nemůže být prokázáno, nicméně, to je nemožné, aby účinek rovinné znamená určité pevné konstrukce (jako krychle, duplikace a roztrojení úhlu). Tyto výsledky byly stanoveny pouze algebraists v 19. století (zejména francouzský matematik Pierre Laurent Wantzel v roce 1837).

třetí třída problémů, se nazývá lineární, objal ty řešitelné pomocí křivek, jiné než kružnice a kuželosečky (v řecké slovo pro „line,“ grammē, se vztahuje na všechny linky, ať už přímé nebo zakřivené). Například, jedna skupina z křivky, conchoids (z řeckého slova pro „shell“), jsou tvořeny označení určité délky na pravítko a pak otočná o pevný bod tak, že jeden z označených bodů zůstane na dané trati, druhý označený bod stopy z konchoida. Tyto křivky lze použít všude tam, kde řešení zahrnuje umístění označeného pravítka vzhledem k dané linii (v řečtině se takové konstrukce nazývají Neues nebo „vergings“ čáry k danému bodu). Například, jakýkoliv ostrý úhel (přišel jako úhel mezi jedné strany a úhlopříčky obdélníku) může být trisected tím, že délka rovna dvojnásobku úhlopříčky a pohybuje se to asi až to přijde, aby být vložen mezi dva jiné strany obdélníku. Pokud je místo toho zaveden vhodný konchoid vzhledem k jedné z těchto stran, lze požadovanou polohu čáry určit bez pokusu a omylu pohybujícího se pravítka. Protože stejná konstrukce může být provedena pomocí hyperboly, problém však není lineární, ale pevný. Takové použití konchoidů představil Nicomedes (střední nebo pozdní 3. století bce) a zdá se, že jejich nahrazení ekvivalentními pevnými konstrukcemi přišlo brzy poté, snad Apollonius nebo jeho spolupracovníci.

některé křivky používané pro řešení problémů nejsou tak redukovatelné. Například, Archimedean spirála páry rovnoměrný pohyb bodu na půl ray s rovnoměrné rotaci paprsku kolem pevného bodu na jeho konci (viz Sidebar: Quadratrix z Hippie). Tyto křivky mají svůj hlavní zájem jako prostředek pro umocnění kružnice a trisecting úhlu.