Apollonius

Arbeidet Til Apollonius Av Perga utvidet feltet av geometriske konstruksjoner langt utover rekkevidden I Elementene. For Eksempel viser Euklid I BOK III hvordan man tegner en sirkel for å passere gjennom tre gitt punkter eller å være tangent til tre gitt linjer; Apollonius (I et verk kalt Tangencies, som ikke lenger overlever) fant sirkelen tangent til tre gitt sirkler, eller tangent til enhver kombinasjon av tre punkter, linjer og sirkler. (Tre-sirkel tangency konstruksjon, en av de mest omfattende studert geometriske problemer, har tiltrukket seg mer enn 100 forskjellige løsninger i moderne tid.)

Apollonios Er best kjent for Sine Kjeglesnitt, en avhandling i åtte bøker (Bøker i–IV overlever på gresk, V–VII i en middelaldersk arabisk oversettelse; Bok VIII er tapt). Kjeglesnittene er kurvene som dannes når et plan skjærer overflaten av en kjegle (eller dobbeltkegle). Det antas at overflaten av kjeglen genereres ved rotasjon av en linje gjennom et fast punkt rundt omkretsen av en sirkel som er i et plan som ikke inneholder det punktet. (Det faste punktet er toppunktet til kjeglen, og den roterte linjen er dens generator.) Det er tre hovedtyper: hvis skjæreplanet er parallelt med en av generatorens posisjoner, produserer det en parabola; hvis den møter kjeglen bare på den ene siden av toppunktet, produserer den en ellipse (hvorav sirkelen er et spesielt tilfelle); men hvis den møter begge deler av kjeglen, produserer den en hyperbel. Apollonius beskriver i detalj egenskapene til disse kurvene. Han viser for eksempel at for gitt linjesegmenter a og b svarer parabolen til forholdet (i moderne notasjon) y2 = ax, ellipsen til y2 = ax-ax2 / b og hyperbelen til y2 = ax + ax2/b.

Apollonius ‘ avhandling om kjeglesnitt konsoliderte delvis mer enn et århundre med arbeid før Ham og presenterte delvis nye funn av sine egne. Som nevnt tidligere hadde Euclid allerede utstedt en lærebok om kjeglene, mens Enda tidligere Menaechmus hadde spilt en rolle i studien. Navnene Som Apollonius valgte for kurvene (begrepene kan være originale med Ham) indikerer enda en tidligere forbindelse. I den Pre-Euklidske geometrien parabolē referert til en bestemt operasjon, «applikasjonen» av et gitt område til en gitt linje, der linjen x søkes slik at ax = b2 (hvor a og b er gitt linjer); alternativt kan x søkes slik at x(a + x) = b2 eller x(a − x) = b2, og i disse tilfellene sies søknaden å være i » overskudd «(hyperbolē) eller» defekt » (elleipsis) med mengden av en firkantet figur (nemlig x2). Disse konstruksjonene, som utgjør en geometrisk løsning av den generelle kvadratiske, vises i Bøker i, II OG VI Av Elementene og kan knyttes i noen form Med Pythagoreerne fra Det 5. århundre.

Apollonius presenterte en omfattende undersøkelse av egenskapene til disse kurvene. Et utvalg av emnene han dekket inkluderer følgende: relasjonene tilfredsstilt av diametre og tangenter av kjeglesnitt (Bok I); hvordan hyperboler er relatert til deres «asymptoter», linjene de nærmer seg uten å møte (Bok II); hvordan tegne tangenter til gitte kjeglesnitt (Bok II) ; forholdet mellom akkorder som krysser i kjeglesnitt (BOK III); bestemmelsen av antall måter som kjeglesnitt kan krysse (BOK IV); hvordan tegne «normale» linjer til kjeglesnitt (det vil si linjer som møter dem i rette vinkler; Bok V); og kongruens og likhet med kjeglesnitt (BOK VI).

Ved Apollonius ‘ eksplisitte uttalelse er hans resultater av prinsipiell bruk som metoder for løsning av geometriske problemer via kjeglesnitt. Mens han faktisk løste bare et begrenset sett av problemer, kan løsningene til mange andre utledes fra hans teoremer. For eksempel tillater teoremene I BOK III bestemmelse av kjeglesnitt som passerer gjennom gitte punkter eller er tangent til gitte linjer. I et annet verk (nå tapt) Løste Apollonios problemet med kubus duplisering med kjeglesnitt (en løsning relatert på en eller annen måte til det som ble gitt Av Menaechmus); videre kan en løsning av problemet med vinkeltriseksjon gitt Av Pappus ha kommet Fra Apollonios eller blitt påvirket av hans arbeid.

Da Euklid, Apollonios Og deres tilhengere fremmet feltet geometriske problemer, ble det hensiktsmessig å innføre en klassifiseringsordning: disse problemene løses ved hjelp av kjeglesnitt ble kalt solid, mens de løses ved hjelp av sirkler og linjer bare (som antatt I Euklids Elementer) ble kalt plan. Dermed kan man doble kvadratet med plan betyr (Som I Elementer, Bok II, proposisjon 14), men man kan ikke doble kuben på en slik måte, selv om en solid konstruksjon er mulig (som gitt ovenfor). Tilsvarende er biseksjonen av en hvilken som helst vinkel en plan konstruksjon (som vist I Elementer, Bok i, proposisjon 9), men den generelle triseksjonen av vinkelen er av fast type. Det er ikke kjent når klassifiseringen først ble introdusert eller når de plane metodene ble tildelt kanonisk status i forhold til de andre, men det synes sannsynlig å datere Dette nær Apollonios ‘ tid. Faktisk, mye av hans arbeid—bøker som Tangencies, Vergings (Eller Tilbøyeligheter), Og Plane Loci, nå tapt, men rikelig beskrevet Av Pappus—slår på prosjektet om å sette ut domenet til plane konstruksjoner i forhold til løsninger på andre måter. På grunnlag av prinsippene i gresk geometri kan det imidlertid ikke påvises at det er umulig å påvirke med plan betyr visse faste konstruksjoner (som kuben duplisering og vinkel triseksjon). Disse resultatene ble etablert bare av algebraister i det 19. århundre (spesielt av den franske matematikeren Pierre Laurent Wantzel i 1837).

en tredje klasse av problemer, kalt lineære, omfavnet de løsbare ved hjelp av kurver andre enn sirkelen og kjeglesnitt (på gresk ordet for» linje», gramminois, refererer til alle linjer, enten buet eller rett). For eksempel er en gruppe kurver, conchoids (fra det greske ordet for «skall»), dannet ved å markere en viss lengde på en linjal og deretter dreie den om et fast punkt på en slik måte at en av de merkede punktene forblir på en gitt linje; det andre merkede punktet sporer ut en conchoid. Disse kurvene kan brukes hvor en løsning innebærer posisjonering av en markert linjal i forhold til en gitt linje (på gresk kalles slike konstruksjoner neuses, eller «vergings» av en linje til et gitt punkt). For eksempel kan enhver spiss vinkel (regnet som vinkelen mellom den ene siden og diagonalen til et rektangel) trisiseres ved å ta en lengde lik to ganger diagonalen og flytte den til den kommer til å bli satt inn mellom to andre sider av rektangelet. Hvis stedet riktig conchoid i forhold til en av disse sidene er innført, den nødvendige posisjonen til linjen kan bestemmes uten prøving og feiling av en bevegelig linjal. Fordi den samme konstruksjonen kan utføres ved hjelp av en hyperbola, er problemet imidlertid ikke lineært, men solidt. Slik bruk av conchoids ble presentert Av Nikomedes (midten eller slutten av 3. århundre f. kr.), og deres erstatning av tilsvarende solide konstruksjoner synes å ha kommet kort tid etter, kanskje Av Apollonios eller hans medarbeidere.

noen av kurvene som brukes til problemløsning er ikke så reduserbare. For eksempel parer den Arkimediske spiralen jevn bevegelse av et punkt på en halv stråle med jevn rotasjon av strålen rundt et fast punkt ved enden (se Sidebar: Quadratrix Av Hippias). Slike kurver har sin hovedinteresse som middel for å kvadrere sirkelen og trisisere vinkelen.