Apollonius

Le travail d’Apollonius de Perga a étendu le domaine des constructions géométriques bien au-delà de la gamme des Éléments. Par exemple, Euclide dans le livre III montre comment dessiner un cercle de manière à passer par trois points donnés ou à être tangent à trois lignes données; Apollonius (dans un ouvrage appelé Tangences, qui ne survit plus) a trouvé le cercle tangent à trois cercles donnés, ou tangent à toute combinaison de trois points, lignes et cercles. (La construction de tangence à trois cercles, l’un des problèmes géométriques les plus étudiés, a attiré plus de 100 solutions différentes dans la période moderne.)

Apollonius est surtout connu pour ses Coniques, un traité en huit livres (Les livres I–IV survivent en grec, V-VII dans une traduction arabe médiévale; Le Livre VIII est perdu). Les sections coniques sont les courbes formées lorsqu’un plan coupe la surface d’un cône (ou cône double). On suppose que la surface du cône est générée par la rotation d’une ligne passant par un point fixe autour de la circonférence d’un cercle qui se trouve dans un plan ne contenant pas ce point. (Le point fixe est le sommet du cône et la ligne tournée son générateur.) Il en existe trois types de base: si le plan de coupe est parallèle à l’une des positions du générateur, il produit une parabole; s’il ne rencontre le cône que d’un côté du sommet, il produit une ellipse (dont le cercle est un cas particulier); mais s’il rencontre les deux parties du cône, il produit une hyperbole. Apollonius expose en détail les propriétés de ces courbes. Il montre, par exemple, que pour des segments de droite donnés a et b, la parabole correspond à la relation (en notation moderne) y2 = ax, l’ellipse à y2 = ax-ax2/b, et l’hyperbole à y2 = ax + ax2/b.

Le traité d’Apollonius sur les coniques consolidait en partie plus d’un siècle de travail avant lui et présentait en partie de nouvelles découvertes. Comme mentionné précédemment, Euclide avait déjà publié un manuel sur les coniques, alors qu’encore plus tôt, Menaechmus avait joué un rôle dans leur étude. Les noms qu’Apollonius a choisis pour les courbes (les termes peuvent être originaux avec lui) indiquent encore une connexion antérieure. Dans la géométrie pré-euclidienne parabolē se réfère à une opération spécifique, l ‘ »application » d’une zone donnée à une ligne donnée, dans laquelle la ligne x est recherchée telle que ax = b2 (où a et b sont des lignes données); alternativement, x peut être recherchée telle que x (a + x) = b2, ou x (a-x) = b2, et dans ces cas, l’application est dite en « excès » (hyperbolē) ou en « défaut » (elleipsis) par la quantité d’une figure carrée (à savoir, x2 ). Ces constructions, qui constituent une solution géométrique du quadratique général, apparaissent dans les livres I, II et VI des Éléments et peuvent être associées sous une forme ou une autre aux Pythagoriciens du 5ème siècle.

Apollonius a présenté une étude complète des propriétés de ces courbes. Un échantillon des sujets qu’il a abordés comprend les suivants: les relations satisfaites par les diamètres et les tangentes des coniques (Livre I); comment les hyperboles sont liées à leurs « asymptotes », les lignes qu’elles approchent sans jamais se rencontrer (Livre II); comment dessiner des tangentes à des coniques données (Livre II); relations d’accords se croisant dans des coniques (Livre III); la détermination du nombre de façons dont les coniques peuvent se croiser (Livre IV); comment dessiner des lignes « normales » sur des coniques (c’est-à-dire des lignes les rencontrant à angle droit; Livre V); et la congruence et la similitude des coniques (livre VI).

Par la déclaration explicite d’Apollonius, ses résultats sont d’une utilisation principale comme méthodes pour la solution de problèmes géométriques via des coniques. Bien qu’il n’ait résolu qu’un ensemble limité de problèmes, les solutions de beaucoup d’autres peuvent être déduites de ses théorèmes. Par exemple, les théorèmes du livre III permettent de déterminer des coniques qui passent par des points donnés ou qui sont tangentes à des droites données. Dans un autre ouvrage (aujourd’hui perdu), Apollonius a résolu le problème de la duplication des cubes par des coniques (une solution liée en quelque sorte à celle donnée par Menaechmus); en outre, une solution du problème de la trisection angulaire donnée par Pappus peut provenir d’Apollonius ou avoir été influencée par son travail.

Avec l’avancée du domaine des problèmes géométriques par Euclide, Apollonius et leurs disciples, il est devenu approprié d’introduire un schéma de classification: ces problèmes résolubles au moyen de coniques étaient appelés solides, tandis que ceux résolubles au moyen de cercles et de lignes uniquement (comme supposé dans les éléments d’Euclide) étaient appelés planaires. Ainsi, on peut doubler le carré par des moyens plans (comme dans Éléments, Livre II, proposition 14), mais on ne peut pas doubler le cube de cette manière, bien qu’une construction solide soit possible (comme indiqué ci-dessus). De même, la bissection d’un angle quelconque est une construction plane (comme le montre Elements, Livre I, proposition 9), mais la trisection générale de l’angle est de type solide. On ne sait pas quand la classification a été introduite pour la première fois ou quand les méthodes planaires ont reçu un statut canonique par rapport aux autres, mais il semble plausible de dater cela près de l’époque d’Apollonius. En effet, une grande partie de ses ouvrages — comme les Tangences, les Vergins (ou Inclinaisons), et les Loci Plans, aujourd’hui perdus mais amplement décrits par Pappus — s’inscrit dans le projet d’établissement du domaine des constructions planaires par rapport aux solutions par d’autres moyens. Sur la base des principes de la géométrie grecque, on ne peut cependant pas démontrer qu’il est impossible d’effectuer par des moyens planaires certaines constructions solides (comme la duplication du cube et la trisection d’angle). Ces résultats n’ont été établis que par des algébristes au 19ème siècle (notamment par le mathématicien français Pierre Laurent Wantzel en 1837).

Une troisième classe de problèmes, appelés linéaires, englobait ceux résolubles au moyen de courbes autres que le cercle et les coniques (en grec, le mot pour  » ligne », grammē, désigne toutes les lignes, qu’elles soient courbes ou droites). Par exemple, un groupe de courbes, les conchoïdes (du mot grec pour « coquille »), sont formés en marquant une certaine longueur sur une règle puis en la faisant pivoter autour d’un point fixe de telle sorte que l’un des points marqués reste sur une ligne donnée; l’autre point marqué trace une conchoïde. Ces courbes peuvent être utilisées partout où une solution implique le positionnement d’une règle marquée par rapport à une ligne donnée (en grec, de telles constructions sont appelées neuses, ou « vergins » d’une ligne vers un point donné). Par exemple, tout angle aigu (figuré comme l’angle entre un côté et la diagonale d’un rectangle) peut être trisecté en prenant une longueur égale à deux fois la diagonale et en le déplaçant jusqu’à ce qu’il vienne s’insérer entre deux autres côtés du rectangle. Si à la place la conchoïde appropriée par rapport à l’un ou l’autre de ces côtés est introduite, la position requise de la ligne peut être déterminée sans essais et erreurs d’une règle mobile. La même construction pouvant être réalisée au moyen d’une hyperbole, le problème n’est cependant pas linéaire mais solide. De telles utilisations des conchoïdes ont été présentées par Nicomède (milieu ou fin du 3ème siècle avant notre ère), et leur remplacement par des constructions solides équivalentes semble avoir eu lieu peu de temps après, peut-être par Apollonius ou ses associés.

Certaines des courbes utilisées pour la résolution de problèmes ne sont pas si réductibles. Par exemple, la spirale d’Archimède couple le mouvement uniforme d’un point sur un demi-rayon avec une rotation uniforme du rayon autour d’un point fixe à son extrémité (voir encadré : Quadratrice d’Hippias). De telles courbes ont leur intérêt principal comme moyens de quadrature du cercle et de trisection de l’angle.