アポロニウス

ペルガのアポロニウスの仕事は、要素の範囲をはるかに超えた幾何学的構造の分野を拡張しました。 アポロニウス（Tangenciesと呼ばれる作品では、もはや生き残っていない）は、与えられた3つの円に接する円、または3つの点、線、円の任意の組み合わせに接する円を見つけた。 （三円接線構造、最も広く研究された幾何学的問題の一つは、現代の時代に100以上の異なる解決策を集めています。)

アポロニウスは、彼の円錐で最もよく知られています,八冊の本の論文(本I–IVはギリシャ語で生き残る,v–VIIは中世のアラビア語翻訳で;本VIIIは失われ 円錐断面は、平面が円錐（または二重円錐）の表面と交差するときに形成される曲線です。 円錐の表面は、その点を含まない平面内にある円の円周の周りの固定点を通る線の回転によって生成されると仮定される。 （固定点は円錐の頂点であり、回転した線はその発生器である。 切断面が発電機のいずれかの位置に平行である場合、放物線を生成し、頂点の一方の側でのみ円錐を満たす場合、楕円を生成します（円は特殊な場合です）。 アポロニウスは、これらの曲線の性質を詳細に説明しています。 例えば、与えられた線分aとbに対して放物線は（現代の表記法では）y2=ax、楕円はy2=ax−ax2/b、双曲線はy2=ax+ax2/bの関係に対応することを示している。.

円錐に関するアポロニウスの論文は、彼の前に一世紀以上の仕事を統合し、部分的には彼自身の新しい発見を発表した。 先に述べたように、ユークリッドはすでに円錐曲線に関する教科書を発行していたが、それ以前のメナエクムスは彼らの研究に役割を果たしていた。 アポロニウスが曲線のために選んだ名前（用語は彼と一緒に元のものかもしれません）は、まだ以前の接続を示しています。 前ユークリッド幾何学における放物線θは、特定の操作、与えられた領域の与えられた線への”適用”であり、その線xはax=b2（aとbは与えられた線である）のように求められ、代わりに、xはx(a+x)=b2、またはx(a−x)=b2のように求められることがあり、これらの場合、適用は正方形の図形（すなわち、x2）の量によって”過剰”（双曲線θ）または”欠陥”（elleipsis）であると言われる。 一般的な二次方程式の幾何学的解に相当するこれらの構造は、要素の本I、II、およびVIに現れ、5世紀のピタゴラスと何らかの形で関連付けることが

アポロニウスは、これらの曲線の性質の包括的な調査を提示した。 彼がカバーしたトピックのサンプルには、次のものが含まれています：円錐の直径と接線によって満たされた関係（本I）;双曲線がそれらの”漸近線”にどのように関連しているか、彼らはこれまでに会うことなく近づく線（本II）;与えられた円錐に接線を描く方法（本II）; コーニックで交差する和音の関係（ブックIII）;コーニックが交差することができる方法の数の決定（ブックIV）;コーニックに”正常な”線を描画する方法（すなわち、直角にそれらを満たす線;ブックV）;とコーニックの合同と類似性（ブックVI）。

アポロニウスの明示的な声明によって、彼の結果は円錐を介した幾何学的問題の解決のための方法として主に使用されています。 彼は実際には限られた問題のセットだけを解決しましたが、他の多くの解決策は彼の定理から推論することができます。 例えば、Book IIIの定理は、与えられた点を通過するか、与えられた線に接している円錐の決定を可能にする。 別の作品（現在は失われている）では、アポロニウスは円錐によって立方体の複製の問題を解決した（メナエクムスによって与えられたものに何らかの方法で関連する解決策）。

ユークリッド、アポロニウス、およびその追随者による幾何学的問題の分野の進歩に伴い、分類スキームを導入することが適切になりました: 円錐によって解ける問題は固体と呼ばれ、円と線だけによって解ける問題は（ユークリッドの要素で仮定されるように）平面と呼ばれました。 したがって、平面的な手段によって正方形を二重にすることができます（Elements、Book II、proposition14のように）が、そのような方法で立方体を二重にすることはできませんが、（上で与えられたように）固体の構成は可能です。 同様に、任意の角度の二等分は平面構成である（Elements,Book I,proposition9に示されているように）が、角度の一般的な三等分は立体型である。 この分類が最初に導入された時期や、平面法が他の方法と比較して標準的な状態に割り当てられた時期は分かっていないが、アポロニウスの時代に近い日付には妥当であると思われる。 確かに、彼の作品の多く—接線、Vergings（または傾斜）、および平面軌跡のような本は、今失われたが、パップスによって十分に記述されている—他の手段によって解 しかし、ギリシャの幾何学の原理に基づいて、平面的な手段によって特定の固体構造（立方体の複製や角度の三等分のような）を実現することは不可能であることを実証することはできない。 これらの結果は19世紀の代数学者によってのみ確立された（特に1837年のフランスの数学者Pierre Laurent Wantzelによって）。

線形と呼ばれる第三のクラスの問題は、円と円錐以外の曲線によって解けるものを受け入れました（ギリシャ語では”線”という言葉は、曲線であろうと直線であろうと、すべての線を指します）。 例えば、曲線の一つのグループ、（”シェル”のためのギリシャ語から）巻貝は、定規上の特定の長さをオフにマークし、マークされた点の一つが与えられた線上にとどまるような方法で固定点の周りにそれを旋回することによって形成され、他のマークされた点は巻貝をトレースします。 これらの曲線は、解が与えられた線に対するマークされた定規の位置を含む場所で使用することができます（ギリシャ語では、このような構造はneuses、または 例えば、鋭角（一方の辺と長方形の対角線との間の角度として計算される）は、対角線の2倍に等しい長さをとり、長方形の他の2つの辺の間に挿入されるまでそれを移動させることによって三等分することができる。 代わりに、これらの辺のいずれかに対する適切なコンコイドが導入されれば、移動する定規の試行錯誤なしに、線の必要な位置を決定することがで しかし、双曲線を用いて同じ構成を行うことができるので、問題は線形ではなく固体である。 このようなコンコイドの使用はニコメデス（紀元前3世紀中期または後期）によって提示され、同等の固体構造によるそれらの置き換えは、おそらくアポロニウスまたは彼の仲間によって、すぐに来たようである。

問題解決に使用される曲線の中には、それほど還元可能ではないものもあります。 例えば、アルキメデスの螺旋は、半光線上の点の一様な運動と、その端の固定点の周りの光線の一様な回転を結合します（サイドバー：ヒッピアスの四分円 このような曲線は、円を二乗して角度を三等分するための手段としての主な関心を持っています。