아폴로니우스

페르가의 아폴로니우스의 연구는 기하구조 분야를 원소의 범위를 훨씬 넘어서게 했다. 예를 들어,제 3 권에서 유클리드는 3 개의 주어진 점을 통과하거나 3 개의 주어진 선에 접하는 동그라미를 그리는 방법을 보여줍니다;아폴로니우스(더 이상 살아남지 않는 접선이라는 작품에서)는 3 개의 주어진 원에 접하는 동그라미를 발견했거나 3 개의 점,선 및 원의 조합에 접하는 동그라미를 발견했습니다. (가장 광범위하게 연구 된 기하학적 문제 중 하나 인 3 원 접선 구조는 현대 시대에 100 가지 이상의 다양한 솔루션을 끌어 들였습니다.

아폴로니우스는 그의 원추형으로 가장 잘 알려져 있는데,이 논문은 8 권의 책이다. 원뿔 섹션은 평면이 원뿔(또는 이중 원뿔)의 표면과 교차 할 때 형성되는 곡선입니다. 그것은 원뿔의 표면이 그 점을 포함하지 않는 평면에있는 원의 둘레에 고정 된 지점을 통해 라인의 회전에 의해 생성되는 것으로 가정한다. (고정 점은 원뿔의 꼭지점,그리고 회전 된 라인의 발전기입니다.)세 가지 기본 유형이 있습니다:절단 평면이 발전기의 위치 중 하나와 평행 한 경우 포물선을 생성합니다;꼭지점의 한쪽에만 콘을 만나는 경우 타원을 생성합니다(이 원은 특별한 경우 임);그러나 원뿔의 두 부분을 모두 만나는 경우 쌍곡선을 생성합니다. 아폴로니우스는 이러한 곡선의 특성을 자세히 설명합니다. 그는 예를 들어 주어진 선분에 대해 ㅏ 과 비 포물선 해당 관계(현대 표기법)와이 2=도끼,타원…에 와이 2=도끼-도끼 2/비,그리고 쌍곡선…에 와이 2=도끼+도끼 2/비.

원추형에 관한 아폴로니우스의 논문은 부분적으로 그 이전에 1 세기 이상의 작업을 통합했으며 일부는 자신의 새로운 발견을 제시했습니다. 앞서 언급했듯이,유클리드는 이미 원추형에 관한 교과서를 발행했지만,더 일찍 메네크무스는 그들의 연구에서 역할을 담당했다. 아폴로니우스가 곡선에 대해 선택한 이름(그와 함께 원래 용어 일 수 있음)은 아직 이전 연결을 나타냅니다. 유클리드 전 기하학 포물선(1)은 특정 연산을 지칭하는 포물선(1)은 주어진 선에 대한 주어진 영역의”응용”,여기서 라인 엑스 는 도끼=비 2(여기서 ㅏ 과 비 주어진 선);대안으로,엑스 는 엑스(ㅏ+엑스)=비 2,또는 엑스(ㅏ−엑스)=비 2,이러한 경우 응용 프로그램은 제곱 그림(즉,엑스 2)의 양에 의해”초과”(쌍곡선)또는”결함”(엘 립 시스)에 있다고한다. 이 구조는 일반적인 2 차 방정식의 기하학적 해법에 해당하며 원소의 1 권,2 권 및 6 권에 나타나며 5 세기 피타고라스와 어떤 형태로 연관 될 수 있습니다.

아폴로니우스는 이러한 곡선의 특성에 대한 포괄적 인 조사를 발표했다. 그가 다루는 주제의 샘플은 다음과 같습니다:직경과 원추형의 접선에 의해 만족 관계(책 나);어떻게 쌍곡선은 그들의”점근선,”그들이 이제까지 회의(책 2)없이 접근 라인과 관련이있다;주어진 원추형의 접선을 그리는 방법(책 2); 원뿔에서 교차하는 화음의 관계(제 3 권);원뿔이 교차 할 수있는 방법의 수 결정(제 4 권);원뿔에”정상적인”선을 그리는 방법(즉,직각으로 만나는 선;제 5 권);원뿔의 합동과 유사성(제 6 권).

아폴로니우스의 명백한 진술에 의해,그의 결과는 원추형을 통한 기하학적 문제의 해결책을위한 방법으로서 주요한 사용이다. 그는 실제로 문제의 제한된 세트를 해결하는 동안,많은 다른 사람의 솔루션은 자신의 정리에서 추론 할 수있다. 예를 들어,제 3 권의 정리는 주어진 점을 통과하거나 주어진 선에 접하는 원추형의 결정을 허용합니다. 다른 작품(지금 손실)아폴로 원추형으로 큐브 중복의 문제를 해결(어떤 방법으로 그 메네에크무스에 의해 주어진 관련 솔루션);또한,파푸스에 의해 주어진 각도 삼분의 문제의 해결책은 아폴로에서 온 수도 또는 그의 작품에 의해 영향을 받았다.

유클리드,아폴로니우스 및 그 추종자들에 의한 기하학적 문제 분야의 발전으로 분류 체계를 도입하는 것이 적절 해졌다: 원뿔에 의해 이러한 문제를 풀 수 솔리드,동그라미와 라인(유클리드의 요소에서 가정)에 의해 그 풀 수 있는 평면 이라고 했다. 따라서 평면 수단으로 사각형을 두 배로 늘릴 수는 있지만(요소,제 2 권,발의안 14),단단한 구조가 가능하지만(위에 주어진 것처럼)그러한 방식으로 큐브를 두 배로 늘릴 수는 없습니다. 마찬가지로 모든 각도의 이등분선은 평면 구조(요소,제 1 권,발의안 9)이지만 각도의 일반적인 삼분선은 솔리드 유형입니다. 그것은 분류가 처음 도입되었을 때 또는 평면 방법은 다른 사람에 비해 표준 상태를 할당 할 때 알 수 없지만,이 근처 아폴로의 시간 날짜를 그럴듯하게 보인다. 사실,그의 작품의 많은—탄겐시 같은 책,버 링스(또는 성향),그리고 평면 궤적,지금은 손실하지만 충분히 파 푸스에 의해 설명-다른 수단에 의해 솔루션과 관련하여 평면 구조의 영역을 설정하는 프로젝트를 켭니다. 그러나 그리스 기하학의 원리에 근거 하 여,그것은 입증 될 수 없다,,그것은 불가능 한 평면에 의해 영향을 의미 특정 고체 구조(큐브 복제 및 각도 트리섹션 같은). 이 결과는 19 세기 대수학자들에 의해서만 확립되었다(특히 1837 년 프랑스의 수학자 피에르 로랑 반첼에 의해).

선형이라고 불리는 세 번째 종류의 문제는 원과 원뿔 이외의 곡선을 통해 해결할 수있는 문제를 받아 들였습니다(헬라어에서”선”이라는 단어는 문법,”곡선”이든 직선이든 모든 선을 의미합니다). 예를 들어,곡선의 한 그룹,콘 코 이드(“쉘”에 대 한 그리스어 단어에서),눈금자에 특정 길이 표시 하 고 표시 된 점 중 하나 주어진된 라인;에 유지 하는 방식으로 고정 된 점에 대 한 선회 하 여 형성 된다 다른 표시 된 점은 콘 코 이드 밖으로 추적 합니다. 이 곡선은 솔루션이 주어진 선을 기준으로 표시된 눈금자의 위치를 포함하는 모든 곳에서 사용할 수 있습니다(그리스어에서는 이러한 구조를 네우스 또는 주어진 점에 대한 선의”버링”이라고합니다). 예를 들어,어떤 예각(한 쪽과 사각형의 대각선 사이의 각도로 생각)두 번 대각선과 같은 길이를 복용하고 사각형의 다른 두 측면 사이에 삽입 될 때까지 그것에 대해 이동하여 삼중 될 수있다. 대신 그 양쪽 중 하나에 상대적인 적절한 콘코이드가 도입되면 움직이는 눈금자의 시행 착오없이 선의 필요한 위치를 결정할 수 있습니다. 그러나 쌍곡선에 의해 동일한 구조가 영향을받을 수 있기 때문에 문제는 선형이 아니라 고체입니다. 이러한 콘코이드의 사용은 니코메데스(기원전 3 세기 중반 또는 후반)에 의해 제시되었으며,동등한 견고한 구조로 대체 된 것은 아폴로니우스 또는 그의 동료들에 의해 곧 나온 것으로 보입니다.

문제 해결에 사용되는 곡선 중 일부는 그렇게 줄일 수 없습니다. 예를 들어,아르키메데스 나선은 반 광선상의 점의 균일 한 움직임을 그 끝의 고정 점 주위의 광선의 균일 한 회전과 결합시킵니다(사이드 바:히피 아스의 사변형 참조). 이러한 곡선은 원을 제곱하고 각도를 삼중 분할하는 수단으로 주요 관심을 갖습니다.