Apollonius

lucrarea lui Apollonius din Perga a extins domeniul construcțiilor geometrice cu mult dincolo de gama elementelor. De exemplu, Euclid în Cartea a III-a arată cum să desenezi un cerc astfel încât să treci prin trei puncte date sau să fii tangent la trei linii date; Apollonius (într-o lucrare numită tangențe, care nu mai supraviețuiește) a găsit cercul tangent la trei cercuri date sau tangent la orice combinație de trei puncte, linii și cercuri. (Construcția tangenței cu trei cercuri, una dintre cele mai studiate probleme geometrice, a atras peste 100 de soluții diferite în perioada modernă.)

Apollonius este cel mai bine cunoscut pentru Conicele sale, un tratat în opt cărți (cărțile I–IV supraviețuiesc în greacă, V–VII într-o traducere arabă medievală; cartea VIII este pierdută). Secțiunile conice sunt curbele formate atunci când un plan intersectează suprafața unui con (sau con dublu). Se presupune că suprafața conului este generată de rotația unei linii printr-un punct fix în jurul circumferinței unui cerc care se află într-un plan care nu conține acel punct. (Punctul fix este vârful conului, iar linia rotită generatorul său.) Există trei tipuri de bază: dacă planul de tăiere este paralel cu una dintre pozițiile generatorului, acesta produce o parabolă; dacă întâlnește conul doar pe o parte a vârfului, produce o elipsă (din care cercul este un caz special); dar dacă întâlnește ambele părți ale conului, produce o hiperbolă. Apollonius prezintă în detaliu proprietățile acestor curbe. El arată, de exemplu, că pentru segmentele de linie date a și b parabola corespunde relației (în notația modernă) y2 = ax, elipsa la y2 = ax-ax2 / b, iar hiperbola la y2 = ax + ax2 / b.

tratatul lui Apollonius despre conici a consolidat în parte mai mult de un secol de muncă înaintea lui și, în parte, a prezentat noi descoperiri proprii. Așa cum am menționat mai devreme, Euclid a emis deja un manual despre conici, în timp ce chiar mai devreme Menaechmus a jucat un rol în studiul lor. Numele pe care Apollonius le-a ales pentru curbe (termenii pot fi originali cu el) indică încă o conexiune anterioară. În geometria preeuclidiană Parabolic, se face referire la o operație specifică, ” aplicarea „unei zone date unei linii date, în care Linia x este căutată astfel încât ax = B2 (unde a și b sunt date linii); alternativ, x poate fi căutat astfel încât x(a + X) = b2, sau x(a − X) = b2, iar în aceste cazuri se spune că cererea este în” exces „(hiperbol-ul) sau” defect ” (elleipsis) cu suma unei figuri pătrate (și anume, x2). Aceste construcții, care reprezintă o soluție geometrică a pătratului general, apar în cărțile I, II și VI ale elementelor și pot fi asociate într-o anumită formă cu pitagoreicii din secolul al 5-lea.

Apollonius a prezentat un studiu cuprinzător al proprietăților acestor curbe. Un eșantion de subiecte pe care le-a acoperit include următoarele: relațiile satisfăcute de diametrele și tangentele conicilor (cartea I); modul în care hiperbolele sunt legate de „asimptotele” lor, liniile pe care le abordează fără să le întâlnească vreodată (cartea II); cum să desenezi tangente la conicele date (Cartea II); relațiile acordurilor care se intersectează în conice (cartea III); determinarea numărului de moduri în care conicele se pot intersecta (cartea IV); cum să desenezi linii „normale” către conice (adică linii care le întâlnesc în unghi drept; cartea V); și congruența și similitudinea conicilor (cartea VI).

prin declarația explicită a lui Apollonius, rezultatele sale sunt de uz principal ca metode pentru soluționarea problemelor geometrice prin conice. În timp ce el a rezolvat de fapt doar un set limitat de probleme, soluțiile multor altora pot fi deduse din teoremele sale. De exemplu, teoremele cărții III permit determinarea conicilor care trec prin puncte date sau sunt tangente la linii date. Într-o altă lucrare (acum pierdută) Apollonius a rezolvat problema duplicării cubului de către conici (o soluție legată într-un fel de cea dată de Menaechmus); mai mult, o soluție a problemei trisecției unghiului dată de Pappus ar fi putut proveni de la Apollonius sau a fost influențată de opera sa.

odată cu avansarea câmpului problemelor geometrice de către Euclid, Apollonius și adepții lor, a devenit oportun să se introducă o schemă de clasificare: acele probleme rezolvabile prin intermediul conicilor au fost numite solide, în timp ce cele rezolvabile numai prin cercuri și linii (așa cum se presupune în Elementele lui Euclid) au fost numite plane. Astfel, se poate dubla pătratul prin mijloace plane (ca în elemente, Cartea II, propoziția 14), dar nu se poate dubla cubul în așa fel, deși este posibilă o construcție solidă (așa cum s-a dat mai sus). În mod similar, bisecția oricărui unghi este o construcție plană (așa cum se arată în elemente, Cartea I, propoziția 9), dar trisecția generală a unghiului este de tip solid. Nu se știe când a fost introdusă clasificarea pentru prima dată sau când metodelor plane li s-a atribuit statutul canonic în raport cu celelalte, dar pare plauzibil până în prezent în apropierea timpului lui Apollonius. Într—adevăr, o mare parte din lucrările sale—cărți precum tangențele, Verg-urile (sau înclinațiile) și plane Loci, acum pierdute, dar descrise amplu de Pappus-transformă proiectul de stabilire a domeniului construcțiilor plane în raport cu soluțiile prin alte mijloace. Pe baza principiilor geometriei grecești, nu se poate demonstra, totuși, că este imposibil să se efectueze prin mijloace plane anumite construcții solide (cum ar fi duplicarea cubului și trisecția unghiului). Aceste rezultate au fost stabilite numai de algebriști în secolul al 19-lea (în special de matematicianul francez Pierre Laurent Wantzel în 1837).

o a treia clasă de probleme, numită liniară, le-a îmbrățișat pe cele rezolvabile prin alte curbe decât cercul și conicele (în greacă cuvântul pentru „linie”, Gramm, se referă la toate liniile, fie curbate, fie drepte). De exemplu, un grup de curbe, conchoidele (din cuvântul grecesc pentru „coajă”), sunt formate prin marcarea unei anumite lungimi pe o riglă și apoi pivotarea acesteia în jurul unui punct fix în așa fel încât unul dintre punctele marcate să rămână pe o linie dată; celălalt punct marcat trasează un conchoid. Aceste curbe pot fi utilizate oriunde o soluție implică poziționarea unei rigle marcate în raport cu o linie dată (în greacă astfel de construcții se numesc Neuse, sau „verg-uri” ale unei linii până la un punct dat). De exemplu, orice unghi ascuțit (reprezentat ca unghiul dintre o parte și diagonala unui dreptunghi) poate fi trisectat luând o lungime egală cu dublul diagonalei și deplasându-l până când ajunge să fie introdus între alte două laturi ale dreptunghiului. Dacă în schimb este introdusă conchoidul corespunzător față de oricare dintre aceste părți, poziția necesară a liniei poate fi determinată fără încercarea și eroarea unei rigle în mișcare. Deoarece aceeași construcție poate fi efectuată prin intermediul unei hiperbole, totuși, problema nu este liniară, ci solidă. Astfel de utilizări ale conchoidelor au fost prezentate de Nicomedes (mijlocul sau sfârșitul secolului 3 î.hr.), iar înlocuirea lor cu construcții solide echivalente pare să fi venit la scurt timp după aceea, probabil de Apollonius sau asociații săi.

unele dintre curbele utilizate pentru rezolvarea problemelor nu sunt atât de reductibile. De exemplu, spirala arhimedeană cuplează mișcarea uniformă a unui punct pe o jumătate de rază cu rotația uniformă a razei în jurul unui punct fix la capătul său (vezi bara laterală: Quadratrix of Hippias). Astfel de curbe au interesul lor principal ca mijloace pentru pătratul cercului și trisectarea unghiului.