jen málo čísel vykonávalo více fascinace a zmatku než nekonečno. Pamatuji si žádá můj otec v mladém věku, zda prostor šel na věčnost. Odpověděl, že to tak musí být, protože, jakkoli daleko jste cestovali do vesmíru,vždy byste mohli natáhnout ruku do prázdna.
Totéž s časem: bude to na celou věčnost, a to sahá nekonečně daleko do minulosti?
filozofové a vědci zápasili s těmito otázkami po celé věky, ale po většinu té doby „nekonečno“ jako koncept nebylo dobře definováno.
vše se změnilo v 19. století, kdy se matematici naučili důsledně manipulovat s nekonečnem jako číslem. Ale tato pravidla přinášejí mnoho překvapení.
zvažte přirozená čísla – 1, 2, 3 a tak dále. Pokračují bez omezení. Existuje nekonečno přirozených čísel. Nyní se zeptejte, existují přirozenější čísla než sudá čísla? Koneckonců, sudá čísla-2, 4,6 a tak dále – jsou obsažena v přirozených číslech, rozptýlená lichými.
je lákavé říci, že existuje dvakrát tolik přirozených čísel než sudých čísel. Ale to je špatně.
když řekneme, že dvě sady objektů jsou stejné, vložíme je do korespondence jeden po druhém. Například, pokud tvrdím, že mám stejný počet prstů jako prsty, myslím tím, že pro každý jeden prst odpovídá jeden prst, bez prstů na nohou a bez prstů v cíli.
nyní udělejte totéž pro přirozená čísla a sudá čísla: pár 1 s 2, 2 se 4, 3 se 6 atd. Pro každé přirozené číslo bude přesně jedno sudé číslo. Skutečnost, že každá řada tvoří nekonečnou množinu, znamená, že sady čísel mají stejnou velikost, i když jedna sada je obsažena v druhé!
Tento výsledek dává definici nekonečna: nekonečné množiny objektů je tak velká, že není větší ani přidáním nebo zdvojnásobení to, ani se to dělalo nějaké menší odečtením od, nebo na polovinu.
To je paradox, vyrobený slavný německý matematik David Hilbert (viz video níže), který v přednášce přednesené v roce 1924, předpokládá hotel s nekonečným počtem pokojů. I když je hotel plný, zdůraznil, stále může ubytovat nové hosty, pokud každý host uvolní svůj pokoj a přesune se po něm, čímž uvolní pokoj číslo 1. To lze provést nekonečně mnohokrát.
je to paradox, který proslavil Němec David Hilbert v roce 1924.
a to i přes to, to by bylo špatné, myslet na nekonečno přirozených čísel – které matematici označují jako ‚spočitatelně‘ nekonečná množina, protože si můžete spočítat členy jednoho po druhém – jako největší myslitelné číslo.
mezi 1 a 2 leží například nekonečný počet čísel, například 3/5 a 7917/384431. Neexistuje žádný limit na to, kolik číslic můžeme přidat do čitatele a jmenovatele, abychom vytvořili více zlomků. Nicméně vás nepřekvapí, když zjistíte, že množina všech zlomků není ve skutečnosti větší než množina přirozených čísel: tvoří také nekonečně nekonečnou množinu.
Ale ne všechna čísla mezi 1 a 2 jsou zlomky: některé desetinná místa (s nekonečným počtem číslic po bodu) nelze vyjádřit jako zlomky. Například druhá odmocnina z 2 je jedno takové číslo. Je známo jako „iracionální“ číslo, protože jej nelze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel. To lze nejlépe pochopit tím, že si představíme spojitou čáru označenou stejně rozloženými přirozenými čísly: 1, 2, 3 a tak dále. Například mezi 1 a 2 bude nekonečný počet bodů, přičemž každý bod odpovídá desetinnému číslu. Bez ohledu na to, jak malý interval na této lince a jak moc ji zvětšíte, stále bude nekonečný počet bodů odpovídající nekonečnému počtu desetinných míst.
ukazuje se, že množina všech bodů na kontinuální linii je větší než nekonečno přirozených čísel; matematici říkají, že je uncountably nekonečný počet bodů na řádek (a v trojrozměrném prostoru). Jednoduše nemůžete porovnávat každý bod na řádku s přirozenými čísly v individuální korespondenci.
takže existují dva typy nekonečna, a to nekončí, ale budu; Byl jsem přidělen pouze konečný počet slov pro tento sloupec. Dovolte mi dokončit návrat k otcově odpovědi o vesmíru: je to nekonečné? No, ano i ne.
pokud je spojitá (a někteří fyzici si myslí, že to nemusí být), pak bude obsahovat nespočetně nekonečný počet bodů. Ale to neznamená, že to musí trvat věčně. Jak Einstein objevil, může být zakřivený sám o sobě, aby vytvořil konečný objem.
to ho vedlo k jedné poznámce: „pouze dvě věci jsou nekonečné, vesmír a lidská hloupost, a nejsem si jistý tím prvním.“
