puține numere au exercitat mai multă fascinație și confuzie decât infinitul. Îmi amintesc că l-am întrebat pe tatăl meu la o vârstă fragedă dacă spațiul a continuat pentru totdeauna. El a răspuns că acest lucru trebuie să fie așa pentru că, oricât de departe ați călătorit în spațiu, ați putea întotdeauna să vă întindeți brațul într-un gol dincolo.
același lucru cu timpul: va continua pentru eternitate și se va întinde infinit de departe în trecut?
filozofii și oamenii de știință s-au luptat cu aceste întrebări de-a lungul veacurilor, dar în cea mai mare parte a timpului ‘infinitul’ ca concept nu a fost bine definit.
toate acestea s-au schimbat în secolul 19, când matematicienii au învățat cum să manipuleze infinitul ca număr într-un mod consecvent. Dar aceste reguli de primăvară multe surprize.
luați în considerare numerele naturale – 1, 2, 3 și așa mai departe. Ei continuă fără limită. Există o infinitate de numere naturale. Acum întrebați, Există mai multe numere naturale decât numere pare? La urma urmei, numerele pare – 2, 4, 6 și așa mai departe – sunt conținute în numerele naturale, intercalate cu cele impare.
este tentant să spunem că există de două ori mai multe numere naturale decât numere pare. Dar asta e greșit.
când spunem că două seturi de obiecte sunt egale, le punem în corespondență unul câte unul. De exemplu, dacă pretind că am același număr de degete ca degetele de la picioare, vreau să spun că pentru fiecare deget corespunde un deget, fără degetele de la picioare rămase și fără degete rămase de neegalat la final.
Acum faceți același lucru pentru numerele naturale și numerele pare: împerecheați 1 cu 2, 2 cu 4, 3 cu 6 și așa mai departe. Va exista exact un număr par pentru fiecare număr natural. Faptul că fiecare serie formează un set infinit înseamnă că seturile de numere au aceeași dimensiune, chiar dacă un set este conținut în celălalt!
acest rezultat dă o definiție a infinitului: un set infinit de obiecte este atât de mare încât nu este făcut mai mare prin adăugarea sau dublarea acestuia; nici nu este făcut mai mic prin scăderea sau înjumătățirea acestuia.
este un paradox făcut celebru de matematicianul German David Hilbert (vezi videoclipul de mai jos) care, într-o prelegere susținută în 1924, a avut în vedere un hotel cu un număr infinit de camere. Chiar și atunci când hotelul este plin, a subliniat el, poate găzdui în continuare oaspeți noi dacă fiecare oaspete își eliberează camera și se mută unul, eliberând astfel Camera numărul 1. Acest lucru se poate face de nenumărate ori.
este un paradox făcut celebru de germanul David Hilbert în 1924.
în ciuda acestui fapt, ar fi greșit să ne gândim la infinitatea numerelor naturale – la care matematicienii se referă ca la un set infinit ‘numărabil’, deoarece puteți număra membrii unul câte unul – ca fiind cel mai mare număr imaginabil.
între 1 și 2, de exemplu, se află un număr infinit de numere, cum ar fi 3/5 și 7917/384431. Nu există nicio limită la câte cifre putem adăuga la numărător și numitor pentru a face mai multe fracții. Cu toate acestea, nu vă va surprinde să aflați că setul tuturor fracțiilor nu este de fapt mai mare decât setul de numere naturale: ele formează și un set infinit.
dar nu toate numerele între 1 și 2 sunt fracții: unele zecimale (cu numere infinite de cifre după punct) nu pot fi exprimate ca fracții. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 este un astfel de număr. Este cunoscut ca un număr ‘irațional’ deoarece nu poate fi exprimat ca raportul a două numere întregi. Acest lucru este cel mai bine înțeles prin conceperea unei linii continue, etichetată prin numere naturale la distanțe egale: 1, 2, 3 și așa mai departe. Va exista un număr infinit de puncte între 1 și 2, de exemplu, cu fiecare punct corespunzător unui număr zecimal. Indiferent cât de mic este un interval pe acea linie și cât de mult îl măriți, va exista în continuare un număr infinit de puncte care corespunde unui număr infinit de zecimale.
se pare că mulțimea tuturor punctelor de pe o linie continuă este o infinitate mai mare decât numerele naturale; matematicienii spun că există un număr infinit infinit de puncte pe linie (și în spațiul tridimensional). Pur și simplu nu se poate potrivi fiecare punct de pe linie cu numerele naturale într-o corespondență unu-la-unu.
deci, există două tipuri de infinit, și nu se oprește aici, dar voi; Am fost alocat doar un număr finit de cuvinte pentru această coloană. Permiteți-mi să termin revenind la răspunsul tatălui meu despre spațiu: este infinit? Ei bine, da și nu.
dacă este continuă (și unii fizicieni cred că nu este), atunci va conține un număr infinit de puncte. Dar asta nu înseamnă că trebuie să continue pentru totdeauna. După cum a descoperit Einstein, poate fi curbată în sine pentru a forma un volum finit.
acest lucru l-a determinat să remarce odată: „doar două lucruri sunt infinite, universul și prostia umană și nu sunt sigur de cele dintâi.”
