niewiele liczb ma więcej fascynacji i zamieszania niż nieskończoność. Pamiętam, jak w młodym wieku zapytałem ojca, czy kosmos trwa wiecznie. Odpowiedział, że tak musi być, ponieważ niezależnie od tego, jak daleko podróżujesz w kosmos, zawsze możesz wyciągnąć rękę w pustkę.
to samo z czasem: czy będzie trwał przez całą wieczność i czy sięgnie nieskończenie daleko w przeszłość?
filozofowie i naukowcy zmagali się z tymi pytaniami przez wieki, ale przez większość tego czasu „nieskończoność” jako pojęcie nie było dobrze zdefiniowane.
wszystko to zmieniło się w XIX wieku, kiedy matematycy nauczyli się manipulować nieskończonością jako liczbą w spójny sposób. Ale te zasady rodzą wiele niespodzianek.
rozważmy liczby naturalne-1, 2, 3 i tak dalej. Idą bez ograniczeń. Istnieje nieskończoność liczb naturalnych. Teraz zapytaj, czy jest więcej liczb naturalnych niż liczb parzystych? W końcu liczby parzyste-2, 4, 6 i tak dalej-są zawarte w liczbach naturalnych, przeplatanych nieparzystymi.
kuszące jest stwierdzenie, że istnieje dwa razy więcej liczb naturalnych niż liczb parzystych. Ale to jest złe.
kiedy mówimy, że dwa zbiory obiektów są równe, umieszczamy je w korespondencji na zasadzie jeden po drugim. Na przykład, jeśli twierdzę, że mam taką samą liczbę palców jak palce u nóg, to znaczy, że dla każdego palca odpowiada jeden palec u nogi, bez palców u rąk i bez palców u rąk na mecie.
teraz zrób to samo dla liczb naturalnych i parzystych: sparuj 1 z 2, 2 z 4, 3 z 6 i tak dalej. Dla każdej liczby naturalnej będzie dokładnie jedna liczba parzysta. Fakt, że każda seria tworzy nieskończony zbiór oznacza, że zbiory liczb są tej samej wielkości, nawet jeśli jeden zbiór jest zawarty w drugim!
ten wynik daje definicję nieskończoności: nieskończony zbiór obiektów jest tak duży, że nie jest większy przez dodawanie do niego lub podwajanie go; ani nie jest mniejszy przez odejmowanie od niego lub zmniejszanie go o połowę.
jest to paradoks rozsławiony przez niemieckiego matematyka Davida Hilberta (zobacz wideo poniżej), który w wykładzie wygłoszonym w 1924 roku przewidywał hotel z nieskończoną liczbą pokoi. Nawet gdy hotel jest pełny, wskazał, że nadal może pomieścić nowych gości, jeśli każdy gość opuści swój pokój i przeniesie się jeden, uwalniając w ten sposób pokój nr 1. Można to zrobić nieskończoną liczbę razy.
jest to paradoks rozsławiony przez Niemca Davida Hilberta w 1924 roku.
pomimo tego, błędem byłoby myślenie o nieskończoności liczb naturalnych – którą matematycy nazywają „policzalnym” zbiorem nieskończonym, ponieważ można policzyć elementy jeden po drugim – jako największą możliwą liczbę.
między 1 A 2, na przykład, leży nieskończona liczba liczb, takich jak 3/5 i 7917/384431. Nie ma ograniczeń co do liczby cyfr, które możemy dodać do licznika i mianownika, aby uzyskać więcej ułamków. Niemniej jednak, nie zdziwi Cię fakt, że zbiór wszystkich ułamków jest w rzeczywistości nie większy niż zbiór liczb naturalnych: tworzą one również nieskończony zbiór.
ale nie wszystkie liczby od 1 do 2 są ułamkami: niektóre dziesiętne (z nieskończoną liczbą cyfr po punkcie) nie mogą być wyrażone jako ułamki. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 2 jest jedną z takich liczb. Jest znana jako „irracjonalna” Liczba, ponieważ nie może być wyrażona jako stosunek dwóch liczb całkowitych. Najlepiej jest to zrozumieć, przewidując ciągłą linię, oznaczoną równomiernie rozmieszczonymi liczbami naturalnymi: 1, 2, 3 i tak dalej. Będzie nieskończona liczba punktów między 1 A 2, na przykład, z każdym punktem odpowiadającym liczbie dziesiętnej. Bez względu na to, jak mały jest odstęp na tej linii i jak bardzo ją powiększysz, nadal będzie nieskończona liczba punktów odpowiadająca nieskończonej liczbie miejsc po przecinku.
okazuje się, że zbiór wszystkich punktów na linii ciągłej jest większą nieskończonością niż liczby naturalne; matematycy twierdzą, że na linii (i w przestrzeni trójwymiarowej) jest nieskończona liczba punktów. Po prostu nie można dopasować każdego punktu na linii z liczbami naturalnymi w korespondencji jeden do jednego.
więc są dwa rodzaje nieskończoności i na tym się nie kończy, ale będę; Przydzielono mi tylko skończoną liczbę słów dla tej kolumny. Pozwólcie, że zakończę, wracając do odpowiedzi mojego ojca na temat przestrzeni: czy jest nieskończona? Tak i nie.
jeśli jest ciągły (a niektórzy fizycy uważają, że może nie być), to będzie zawierał nieskończoną liczbę punktów. Ale to nie znaczy, że musi trwać wiecznie. Jak odkrył Einstein, może być zakrzywiona w sobie, tworząc skończoną objętość.
to doprowadziło go do pewnego stwierdzenia: „tylko dwie rzeczy są nieskończone, wszechświat i ludzka głupota, a nie jestem pewien co do pierwszej.”
