Apollonius

Die Arbeit von Apollonius von Perga erweiterte das Gebiet der geometrischen Konstruktionen weit über den Bereich der Elemente hinaus. Zum Beispiel zeigt Euklid in Buch III, wie man einen Kreis so zeichnet, dass er durch drei gegebene Punkte verläuft oder an drei gegebene Linien tangential ist; Apollonius (in einer Arbeit namens Tangentials, die nicht mehr überlebt) fand den Kreis tangential an drei gegebene Kreise oder tangential an eine beliebige Kombination von drei Punkten, Linien und Kreisen. (Die Dreikreistangenzkonstruktion, eines der am ausführlichsten untersuchten geometrischen Probleme, hat in der Neuzeit mehr als 100 verschiedene Lösungen angezogen.)

Apollonius ist am besten bekannt für seine Conics, eine Abhandlung in acht Büchern (Bücher I–IV überleben in Griechisch, V–VII in einer mittelalterlichen arabischen Übersetzung; Buch VIII ist verloren). Die Kegelschnitte sind die Kurven, die gebildet werden, wenn eine Ebene die Oberfläche eines Kegels (oder Doppelkegels) schneidet. Es wird angenommen, dass die Oberfläche des Kegels durch die Drehung einer Linie durch einen festen Punkt um den Umfang eines Kreises erzeugt wird, der in einer Ebene liegt, die diesen Punkt nicht enthält. (Der Fixpunkt ist der Scheitelpunkt des Kegels und die gedrehte Linie ihr Generator.) Es gibt drei Grundtypen: Wenn die Schnittebene parallel zu einer der Positionen des Generators ist, erzeugt sie eine Parabel; Wenn sie nur auf einer Seite des Scheitelpunkts auf den Kegel trifft, erzeugt sie eine Ellipse (von der der Kreis ein Sonderfall ist); Wenn sie jedoch auf beide Teile des Kegels trifft, erzeugt sie eine Hyperbel. Apollonius legt die Eigenschaften dieser Kurven detailliert dar. Er zeigt zum Beispiel, dass für gegebene Liniensegmente a und b die Parabel der Beziehung (in moderner Schreibweise) y2 = ax , die Ellipse zu y2 = ax − ax2/b und die Hyperbel zu y2 = ax + ax2/b.

Apollonius ‚Abhandlung über Koniken konsolidierte teilweise mehr als ein Jahrhundert Arbeit vor ihm und präsentierte teilweise neue eigene Erkenntnisse. Wie bereits erwähnt, hatte Euklid bereits ein Lehrbuch über die Kegel herausgegeben, während Menaechmus noch früher eine Rolle in ihrer Studie gespielt hatte. Die Namen, die Apollonius für die Kurven wählte (die Begriffe können mit ihm originell sein), weisen noch auf eine frühere Verbindung hin. In der voreuklidischen Geometrie bezeichnet parabolē eine bestimmte Operation, die „Anwendung“ eines bestimmten Bereichs auf eine bestimmte Linie, in der die Linie x so gesucht wird, dass ax = b2 (wobei a und b Linien gegeben sind); Alternativ kann x so gesucht werden, dass x(a + x) = b2 oder x(a – x) = b2, und in diesen Fällen wird die Anwendung als „Überschuss“ (hyperbolē) oder „Defekt“ (elleipsis) um den Betrag einer quadratischen Figur (nämlich x2). Diese Konstruktionen, die auf eine geometrische Lösung des allgemeinen Quadratischen hinauslaufen, erscheinen in den Büchern I, II und VI der Elemente und können in irgendeiner Form mit den Pythagoräern des 5. Jahrhunderts in Verbindung gebracht werden.

Apollonius präsentierte eine umfassende Übersicht über die Eigenschaften dieser Kurven. Eine Auswahl der Themen, die er behandelte, umfasst Folgendes: die Beziehungen, die durch die Durchmesser und Tangenten von Koniken erfüllt sind (Buch I); wie Hyperbeln mit ihren „Asymptoten“ zusammenhängen, den Linien, denen sie sich nähern, ohne sich jemals zu treffen (Buch II); wie man Tangenten an gegebene Koniken zeichnet (Buch II); beziehungen von Akkorden, die sich in Koniken schneiden (Buch III); die Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, wie sich Koniken schneiden können (Buch IV); wie man „normale“ Linien zu Koniken zeichnet (dh Linien, die sie im rechten Winkel treffen; Buch V); und die Kongruenz und Ähnlichkeit von Koniken (Buch VI).

Nach Apollonius ‚ausdrücklicher Aussage sind seine Ergebnisse von hauptsächlichem Nutzen als Methoden zur Lösung geometrischer Probleme über Koniken. Während er tatsächlich nur eine begrenzte Anzahl von Problemen löste, können die Lösungen vieler anderer aus seinen Theoremen abgeleitet werden. Zum Beispiel erlauben die Theoreme des Buches III die Bestimmung von Koniken, die durch gegebene Punkte gehen oder tangential zu gegebenen Linien sind. In einer anderen Arbeit (jetzt verloren) löste Apollonius das Problem der Würfelduplikation durch Kegel (eine Lösung, die in irgendeiner Weise mit der von Menaechmus gegebenen zusammenhängt); Ferner könnte eine Lösung des von Pappus gegebenen Problems der Winkeltrisektion von Apollonius stammen oder von seiner Arbeit beeinflusst worden sein.

Mit dem Fortschritt des Feldes der geometrischen Probleme durch Euklid, Apollonius und ihre Anhänger wurde es angebracht, ein Klassifizierungsschema einzuführen: diese Probleme, die durch Kegel gelöst werden konnten, wurden als solide bezeichnet, während diejenigen, die nur durch Kreise und Linien gelöst werden konnten (wie in Euklids Elementen angenommen), als planar bezeichnet wurden. So kann man das Quadrat mit ebenen Mitteln verdoppeln (wie in Elements, Buch II, Satz 14), aber man kann den Würfel nicht so verdoppeln, obwohl eine solide Konstruktion möglich ist (wie oben angegeben). In ähnlicher Weise ist die Winkelhalbierung eines beliebigen Winkels eine ebene Konstruktion (wie in Elements, Book I, proposition 9 gezeigt), aber die allgemeine Trisektion des Winkels ist vom festen Typ. Es ist nicht bekannt, wann die Klassifikation zum ersten Mal eingeführt wurde oder wann den planaren Methoden im Vergleich zu den anderen ein kanonischer Status zugewiesen wurde, aber es scheint plausibel, dies in der Nähe von Apollonius ‚Zeit zu datieren. In der Tat, ein Großteil seiner Arbeit—Bücher wie die Tangentien, die Scheitelpunkte (oder Neigungen), und die Ebene Loci, jetzt verloren, aber reichlich beschrieben von Pappus—dreht sich um das Projekt der Festlegung der Domäne der planaren Konstruktionen in Bezug auf Lösungen mit anderen Mitteln. Auf der Grundlage der Prinzipien der griechischen Geometrie kann jedoch nicht nachgewiesen werden, dass bestimmte feste Konstruktionen (wie die Würfelduplikation und der Winkeltrisektion) nicht planar ausgeführt werden können. Diese Ergebnisse wurden nur von Algebraisten im 19.Jahrhundert (vor allem von der Französisch Mathematiker Pierre Laurent Wantzel im Jahre 1837).

Eine dritte Klasse von Problemen, linear genannt, umfasst solche, die durch andere Kurven als den Kreis und die Kegel gelöst werden können (im Griechischen bezieht sich das Wort für „Linie“, grammē, auf alle Linien, ob gekrümmt oder gerade). Zum Beispiel wird eine Gruppe von Kurven, die Conchoide (vom griechischen Wort für „Schale“), gebildet, indem eine bestimmte Länge auf einem Lineal markiert und dann um einen festen Punkt so geschwenkt wird, dass einer der markierten Punkte auf einer bestimmten Linie bleibt; Der andere markierte Punkt zeichnet ein Conchoid nach. Diese Kurven können überall dort verwendet werden, wo eine Lösung die Positionierung eines markierten Lineals relativ zu einer bestimmten Linie beinhaltet (im Griechischen werden solche Konstruktionen als Neuses oder „Vergings“ einer Linie zu einem bestimmten Punkt bezeichnet). Zum Beispiel kann jeder spitze Winkel (dargestellt als der Winkel zwischen einer Seite und der Diagonale eines Rechtecks) trisektiert werden, indem eine Länge genommen wird, die der doppelten Diagonale entspricht, und sie bewegt wird, bis sie zwischen zwei anderen Seiten des Rechtecks eingefügt wird. Wenn stattdessen das entsprechende Conchoid relativ zu einer dieser Seiten eingeführt wird, kann die erforderliche Position der Linie ohne Versuch und Irrtum eines sich bewegenden Lineals bestimmt werden. Da der gleiche Aufbau jedoch mittels einer Hyperbel erfolgen kann, ist das Problem nicht linear, sondern fest. Solche Verwendungen der Conchoids wurden von Nicomedes (Mitte oder Ende des 3. Jahrhunderts v. Chr.) vorgestellt, und ihre Ersetzung durch gleichwertige feste Konstruktionen scheint bald danach gekommen zu sein, vielleicht von Apollonius oder seinen Mitarbeitern.

Einige der zur Problemlösung verwendeten Kurven sind nicht so reduzierbar. Zum Beispiel koppelt die archimedische Spirale die gleichmäßige Bewegung eines Punktes auf einem Halbstrahl mit einer gleichmäßigen Rotation des Strahls um einen festen Punkt an seinem Ende (siehe Seitenleiste: Quadratrix von Hippias). Solche Kurven haben ihr Hauptinteresse als Mittel zum Quadrieren des Kreises und zum Triszieren des Winkels.