Apollonios

Apollonios pergalaisen teos laajensi geometristen konstruktioiden kenttää kauas Alkuainevalikoiman ulkopuolelle. Esimerkiksi Eukleides kirja III osoittaa, miten tehdä ympyrän niin, että läpi kolme annettua pistettä tai olla tangentti kolme annettua riviä; Apollonios (teoksessa nimeltä Tangencies, joka ei enää selviää) löytyi ympyrän tangentti kolme annettua ympyrää, tai tangentti tahansa yhdistelmä kolme pistettä, linjat ja ympyrät. (Kolmen ympyrän tangency construction,yksi laajimmin tutkittu geometrinen ongelmia, on houkutellut yli 100 erilaista ratkaisua nykyaikana.)

Apollonios tunnetaan parhaiten Kartioleikkauksistaan, tutkielmastaan kahdeksassa kirjassa (Kirjat I–IV säilynyt kreikaksi, V–VII keskiaikaisessa arabiankielisessä käännöksessä; kirja VIII on kadonnut). Kartioleikkaukset ovat käyriä, jotka muodostuvat, kun taso leikkaa kartion (tai kaksoiskartion) pinnan. Oletetaan, että kartion pinta syntyy kiertämällä rataa sellaisen ympyrän kehällä olevan kiinteän pisteen kautta, joka on tasolla, joka ei sisällä kyseistä pistettä. (Kiinteä piste on huippupiste, kartio, ja pyörivä linja sen generaattori.) On olemassa kolme perustyyppiä: jos leikkuutaso on yhdensuuntainen jonkin generaattorin kannan kanssa, se tuottaa paraabelin; jos se täyttää kartion vain yhdellä puolella huippupistettä, se tuottaa ellipsin (josta ympyrä on erikoistapaus); mutta jos se täyttää kartion molemmat osat, se tuottaa hyperbelin. Apollonios esitetään yksityiskohtaisesti ominaisuuksia näiden käyriä. Hän osoittaa esimerkiksi, että tietyn linjan segmenttien A ja b paraabeli vastaa suhteessa (nykyaikaisessa notaatio) y2 = ax, ellipsi, y2 = ax-ax2 / b, ja Hyperbeli, y2 = ax + ax2 / b.

Apollonios n translitteratio, conics osittain konsolidoitu yli vuosisadan työtä ennen häntä ja osittain esitteli uusia havaintoja Oman. Kuten aiemmin mainittiin, Eukleides oli jo julkaissut oppikirjan conics, kun vielä aiemmin Menaechmos oli ollut rooli niiden tutkimuksessa. Apollonioksen käyrille valitsemat nimet (termit voivat olla hänen kanssaan alkuperäisiä) viittaavat vielä varhaisempaan yhteyteen. Esieuklidisessa geometriassa parabolē viittaa tiettyyn operaatioon, tietyn alueen ” soveltaminen ”annetulle suoralle, jossa suoraa x haetaan siten, että ax = b2 (missä a ja b ovat annettuja janoja); vaihtoehtoisesti x voidaan hakea siten, että x(A + x) = b2 tai x(A − x) = b2, ja näissä tapauksissa sovelluksen sanotaan olevan” ylimääräinen ”(hyperbolē) tai” vika ” (elleipsis) neliöluvun määrällä (eli x2). Nämä konstruktiot, jotka muodostavat geometrisen ratkaisun yleisen neliö, näkyvät kirjoissa I, II ja VI elementtejä ja voidaan liittää jossain muodossa kanssa 5th-luvulla Pythagoreans.

Apollonios esitti kattavan tutkimuksen näiden käyrien ominaisuuksista. Näyte aiheista hän kattaa muun muassa seuraavat: suhteet tyytyväinen halkaisijat ja tangentit conics (Kirja I); miten hyperbolas liittyvät niiden ”asymptotes,” linjat ne lähestyvät koskaan kokousta (kirja II); miten tehdä tangentit annetaan conics (kirja II); suhteet soinnut leikkaavat vuonna conics (kirja III); määrittäminen useita tapoja, joilla conics voi intersect (kirja IV); miten tehdä ”normaali” linjat conics (eli linjat täyttävät ne suorassa kulmassa; kirja V); ja Kongruenssi ja samankaltaisuus conics (kirja VI).

Apollonioksen eksplisiittisen lausuman mukaan hänen tuloksensa ovat pääasiallisesti käytettäviä menetelmiä geometristen ongelmien ratkaisemiseksi conicsin kautta. Vaikka hän itse ratkaista vain rajallinen joukko ongelmia, ratkaisut monet muut voidaan päätellä hänen teoreemojen. Esimerkiksi kirjan III teoreemojen avulla voidaan määrittää kartioleikkaukset, jotka kulkevat annettujen pisteiden kautta tai ovat tangentteja annetuille suorille. Toisessa työssä (nyt menetetty) Apollonios ratkaista ongelma kuution päällekkäisyyttä, conics (ratkaisu liittyvät jollakin tavalla, että antama Menaechmus); lisäksi ratkaisu ongelma kulma trisection antama Pappus on saattanut tulla Apollonios tai vaikuttaa hänen työstään.

Eukleideen, Apollonioksen ja heidän seuraajiensa geometristen ongelmien edetessä tuli aiheelliseksi ottaa käyttöön luokittelujärjestelmä: nämä ongelmat ratkaistavissa avulla conics kutsuttiin kiinteä, kun taas ne ratkaistavissa avulla piireissä ja linjat vain (kuten oletetaan Eukleides: n elementit) kutsuttiin planar. Neliö voidaan siis kaksinkertaistaa tasomaisin keinoin (kuten elementeissä, kirja II, propositio 14), mutta kuutiota ei voida kaksinkertaistaa tällä tavalla, vaikka kiinteä konstruktio on mahdollinen (kuten edellä on esitetty). Vastaavasti minkä tahansa kulman bisektio on tasomainen konstruktio (kuten Elements, Book I, proposition 9), mutta kulman yleinen trisektio on kiinteää tyyppiä. Ei tiedetä, milloin luokittelu ensimmäisen kerran otettiin käyttöön tai milloin planaarisille menetelmille annettiin kanoninen asema suhteessa muihin, mutta näyttää uskottavalta ajoittaa tämä lähelle Apollonioksen aikaa. Itse asiassa suuri osa hänen työstään-kirjoja, kuten Tangencies, Vergings (tai taipumuksia), ja Plane Loci, nyt menetetty, mutta runsaasti kuvattu Pappus—kääntyy hankkeen, jossa esitetään verkkotunnuksen planar constructions suhteessa ratkaisuja muilla keinoin. Kreikkalaisen geometrian periaatteiden perusteella ei kuitenkaan voida osoittaa, että olisi mahdotonta vaikuttaa tasomaisilla keinoilla tiettyjä kiinteitä konstruktioita (kuten kuution kahdentaminen ja kulman trisektio). Nämä tulokset vahvistettiin vasta algebraists vuonna 19 th century (erityisesti ranskalainen matemaatikko Pierre Laurent Wantzel vuonna 1837).

kolmas ongelmaluokka, jota kutsuttiin lineaariseksi, käsitti ne, jotka olivat ratkaistavissa muiden käyrien kuin ympyrän ja kartioleikkausten avulla (kreikaksi ”suoraa” tarkoittava sana grammē viittaa kaikkiin janoihin, olivat ne käyriä tai suoria). Esimerkiksi yksi käyräryhmä, kotilot (kreikankielisestä ”kuorta” tarkoittavasta sanasta), muodostetaan merkitsemällä viivoittimeen tietty pituus ja kääntämällä se sitten kiinteän pisteen ympäri siten, että yksi merkityistä pisteistä jää tietylle suoralle; toinen merkitty piste jäljittää kotilon. Näitä käyriä voidaan käyttää aina, kun ratkaisussa on kyse merkityn viivoittimen sijoittamisesta suhteessa annettuun janaan (Kreikassa tällaisia konstruktioita kutsutaan neusesiksi eli ”vergingsiksi”, joka on Jana annettuun pisteeseen). Esimerkiksi mikä tahansa akuutti kulma (kuvitellaan suorakulmion toisen sivun ja lävistäjän väliseksi kulmaksi) voidaan trisectoida ottamalla pituus, joka on kaksi kertaa lävistäjä, ja liikuttamalla sitä noin, kunnes se tulee lisättäväksi suorakulmion kahden muun sivun väliin. Jos sen sijaan otetaan käyttöön sopiva kartioleikkaus suhteessa jompaankumpaan näistä sivuista, voidaan janan vaadittu sijainti määrittää ilman liikkuvan viivoittimen yritystä ja virhettä. Koska sama konstruktio voidaan toteuttaa hyperbelin avulla, ongelma ei kuitenkaan ole lineaarinen vaan kiinteä. Tällaiset käyttötarkoitukset, conchoids olivat esittäneet Nicomedes (keski-tai myöhään 3. vuosisadalla eaa), ja niiden korvaaminen vastaava kiinteä rakenteita näyttää tulleen pian sen jälkeen, ehkä Apollonios tai hänen kumppaninsa.

jotkut käyrät käytetään ongelmanratkaisuun eivät ole niin reducible. Esimerkiksi Arkhimedeen spiraali parittaa pisteen tasaisen liikkeen puolisäteellä siten, että säde kiertää tasaisesti kiinteän pisteen ympäri sen päässä (KS.sivupalkki: Quadratrix, Hippias). Tällaiset käyrät ovat niiden pääasiallinen etu keinona neliöimistä ympyrän ja trisecting kulma.