harvat luvut ovat ilmaisseet enemmän kiehtovuutta ja sekaannusta kuin äärettömyys. Muistan kysyneeni isältäni nuorena, jatkuiko avaruus ikuisesti. Hän vastasi, että näin täytyy olla, koska kuinka pitkälle tahansa matkustit avaruuteen, voit aina ojentaa kätesi sen takana olevaan tyhjyyteen.
sama juttu ajan kanssa: jatkuuko se ikuisesti, ja ulottuuko se äärettömän kauas menneisyyteen?
filosofit ja tiedemiehet ovat painineet näiden kysymysten kanssa kautta aikain, mutta suurimman osan ajasta ’äärettömyys’ käsitteenä ei ollut tarkkaan määritelty.
kaikki tämä muuttui 1800-luvulla, kun matemaatikot oppivat manipuloimaan äärettömyyttä lukuna johdonmukaisella tavalla. Mutta nuo säännöt aiheuttavat monia yllätyksiä.
tarkastellaan luonnollisia lukuja-1, 2, 3 ja niin edelleen. Ne jatkuvat rajattomasti. Luonnollisia lukuja on äärettömästi. Kysy nyt, onko olemassa enemmän luonnollisia lukuja kuin parillisia lukuja? Loppujen lopuksi parilliset luvut – 2, 4, 6 ja niin edelleen – sisältyvät luonnollisiin lukuihin, joiden välissä on parittomia lukuja.
on houkuttelevaa sanoa, että luonnollisia lukuja on kaksi kertaa niin paljon kuin parillisia lukuja. Mutta se on väärin.
kun sanomme kahden joukon olioita olevan yhtä suuret, laitamme ne yksitellen vastaaviksi. Jos esimerkiksi väitän, että minulla on sama määrä sormia kuin varpailla, tarkoitan sitä, että jokaista sormea kohti on yksi varvas, jonka yli ei ole jäljellä varpaita eikä sormia, jotka ovat maalissa vertaansa vailla.
tee nyt sama luonnollisille luvuille ja parillisille luvuille: pari 1 2: lla, 2: lla 4: llä, 3: lla 6: lla ja niin edelleen. Jokaista luonnollista lukua kohti on tasan yksi parillinen luku. Se, että jokainen sarja muodostaa äärettömän joukon, tarkoittaa, että joukkojen numerot ovat samankokoisia, vaikka yksi joukko sisältyykin toiseen!
tämä tulos antaa määritelmän äärettömyydelle: ääretön joukko objekteja on niin suuri, ettei siitä tehdä suurempaa lisäämällä tai kaksinkertaistamalla sitä, eikä pienempää vähentämällä tai puolittamalla sitä.
kyseessä on paradoksi, jonka teki kuuluisaksi saksalainen matemaatikko David Hilbert (katso video alla), joka vuonna 1924 pitämässään luennossa kaavaili hotellia, jossa olisi ääretön määrä huoneita. Hän huomautti, että vaikka hotelli olisi täynnä,siihen voi silti mahtua uusia vieraita, jos jokainen vieras jättää huoneensa ja siirtää yhden eteenpäin, jolloin huone numero 1 vapautuu. Tämä voidaan tehdä lukemattomia kertoja.
se on saksalaisen David Hilbertin vuonna 1924 tunnetuksi tekemä paradoksi.
tästä huolimatta olisi väärin ajatella luonnollisten lukujen äärettömyyttä – jota matemaatikot kutsuvat ”numeroituvaksi” äärettömäksi joukoksi, koska jäsenet voi laskea yksitellen-suurimpana ajateltavissa olevana lukuna.
välillä 1-2 esimerkiksi on ääretön määrä lukuja, kuten 3/5 ja 7917/384431. Ei ole mitään rajaa, kuinka monta numeroa voimme lisätä osoittaja ja nimittäjä tehdä enemmän jakeet. Siitä huolimatta, se ei yllätä sinua oppimaan, että joukko kaikki Murtoluvut on itse asiassa ole suurempi kuin joukko luonnollisia lukuja: nekin muodostavat äärettömän joukon.
mutta kaikki numerot 1: n ja 2: n välillä eivät ole murtolukuja: joitakin desimaaleja (joissa pisteen jälkeen on ääretön määrä numeroita) ei voida ilmaista murtolukuina. Esimerkiksi neliöjuuri 2 on yksi tällainen luku. Se tunnetaan ”irrationaalilukuna”, koska sitä ei voida ilmaista kahden kokonaisluvun suhteena. Tämä ymmärretään parhaiten kuvaamalla jatkuva viiva, jota merkitään tasavälein luonnollisilla luvuilla: 1, 2, 3 ja niin edelleen. Pisteitä on esimerkiksi 1: n ja 2: n välillä ääretön määrä, ja jokainen piste vastaa desimaalilukua. Riippumatta siitä, kuinka pieni väli tuolla suoralla on ja kuinka paljon sitä suurennetaan, on silti ääretön määrä pisteitä, jotka vastaavat ääretöntä määrää desimaaleja.
käy ilmi, että kaikkien pisteiden joukko jatkuvalla suoralla on suurempi äärettömyys kuin luonnolliset luvut; matemaatikot sanovat, että suoralla (ja kolmiulotteisessa avaruudessa) on lukemattoman ääretön määrä pisteitä. Et yksinkertaisesti voi sovittaa jokaista pistettä suoralla luonnollisten lukujen kanssa yksi yhteen-kirjeenvaihtona.
joten on olemassa kahdenlaista äärettömyyttä, eikä se lopu siihen, mutta minä tulen; Minulle on varattu tälle palstalle vain rajallinen määrä sanoja. Sallikaa minun lopuksi palata isäni kysymykseen avaruudesta: onko se ääretön? Kyllä ja ei.
jos se on jatkuva (ja jotkut fyysikot ajattelevat, ettei se välttämättä ole), niin se sisältää lukemattoman määrän pisteitä. Mutta se ei tarkoita, että sen pitäisi jatkua ikuisesti. Kuten Einstein havaitsi, se voi olla kaareutunut itseensä muodostaen äärellisen tilavuuden.
tämä sai hänet kerran huomauttamaan: ”vain kaksi asiaa on ääretön, maailmankaikkeus ja ihmisen tyhmyys, enkä ole varma edellisestä.”
