Peu de nombres ont exercé plus de fascination et de confusion que l’infini. Je me souviens avoir demandé à mon père très jeune si l’espace avait duré pour toujours. Il a répondu que cela devait être le cas car, quelle que soit la distance parcourue dans l’espace, vous pouviez toujours étendre votre bras dans un vide au-delà.
Même chose avec le temps: va-t-il durer toute l’éternité, et remonte-t-il infiniment loin dans le passé?
Les philosophes et les scientifiques ont lutté avec ces questions à travers les âges, mais pendant la plupart de ce temps, « l’infini » en tant que concept n’était pas bien défini.
Tout cela a changé au 19ème siècle lorsque les mathématiciens ont appris à manipuler l’infini en tant que nombre de manière cohérente. Mais ces règles suscitent de nombreuses surprises.
Considérons les nombres naturels – 1, 2, 3 et ainsi de suite. Ils continuent sans limite. Il y a une infinité de nombres naturels. Demandez maintenant, y a-t-il plus de nombres naturels que de nombres pairs? Après tout, les nombres pairs – 2, 4, 6 et ainsi de suite – sont contenus dans les nombres naturels, entrecoupés de nombres impairs.
Il est tentant de dire qu’il y a deux fois plus de nombres naturels que de nombres pairs. Mais c’est faux.
Lorsque nous disons que deux ensembles d’objets sont égaux, nous les mettons en correspondance un par un. Par exemple, si je prétends avoir le même nombre de doigts que les orteils, je veux dire que pour chaque doigt, il correspond à un orteil, sans orteils et sans doigts à l’arrivée.
Faites maintenant la même chose pour les nombres naturels et les nombres pairs: associez 1 à 2, 2 à 4, 3 à 6, etc. Il y aura exactement un nombre pair pour chaque nombre naturel. Le fait que chaque série forme un ensemble infini signifie que les ensembles de nombres ont la même taille, même si un ensemble est contenu dans l’autre!
Ce résultat donne une définition de l’infini: un ensemble infini d’objets est si grand qu’il n’est pas agrandi en l’ajoutant ou en le doublant ; il n’est pas non plus réduit en le soustrayant ou en le réduisant de moitié.
C’est un paradoxe rendu célèbre par le mathématicien allemand David Hilbert (voir la vidéo ci-dessous) qui, dans une conférence prononcée en 1924, envisageait un hôtel avec un nombre infini de chambres. Même lorsque l’hôtel est plein, a-t-il souligné, il peut toujours accueillir de nouveaux clients si chaque client quitte sa chambre et en déplace un, libérant ainsi la chambre numéro 1. Cela peut être fait un nombre infini de fois.
C’est un paradoxe rendu célèbre par l’allemand David Hilbert en 1924.
Malgré cela, il serait faux de penser à l’infini des nombres naturels – que les mathématiciens appellent un ensemble infini « dénombrable », car vous pouvez compter les membres un par un – comme le plus grand nombre concevable.
Entre 1 et 2, par exemple, se trouvent un nombre infini de nombres, tels que 3/5 et 7917/384431. Il n’y a pas de limite au nombre de chiffres que nous pouvons ajouter au numérateur et au dénominateur pour créer plus de fractions. Néanmoins, cela ne vous surprendra pas d’apprendre que l’ensemble de toutes les fractions n’est en fait pas plus grand que l’ensemble des nombres naturels: ils forment également un ensemble infini dénombrable.
Mais tous les nombres compris entre 1 et 2 ne sont pas des fractions: certaines décimales (avec un nombre infini de chiffres après le point) ne peuvent pas être exprimées en fractions. Par exemple, la racine carrée de 2 est l’un de ces nombres. Il est connu comme un nombre « irrationnel » car il ne peut pas être exprimé comme le rapport de deux entiers. Ceci est mieux compris en envisageant une ligne continue, marquée par des nombres naturels également espacés: 1, 2, 3 et ainsi de suite. Il y aura un nombre infini de points entre 1 et 2, par exemple, chaque point correspondant à un nombre décimal. Quel que soit le petit intervalle sur cette ligne et combien vous l’agrandissez, il y aura toujours un nombre infini de points correspondant à un nombre infini de décimales.
Il s’avère que l’ensemble de tous les points d’une ligne continue est un infini plus grand que les nombres naturels; les mathématiciens disent qu’il y a un nombre infiniment infini de points sur la ligne (et dans l’espace tridimensionnel). Vous ne pouvez tout simplement pas faire correspondre chaque point de la ligne avec les nombres naturels dans une correspondance un à un.
Donc il y a deux types d’infini, et ça ne s’arrête pas là, mais je vais le faire; On ne m’a alloué qu’un nombre fini de mots pour cette colonne. Permettez-moi de terminer en revenant à la réponse de mon père à propos de l’espace : est-il infini ? Eh bien, oui et non.
S’il est continu (et certains physiciens pensent que ce n’est peut-être pas le cas), il contiendra un nombre infiniment infini de points. Mais cela ne signifie pas que cela doit durer éternellement. Comme Einstein l’a découvert, il peut être courbé sur lui-même pour former un volume fini.
Cela l’a amené une fois à faire cette remarque : » Seules deux choses sont infinies, l’univers et la bêtise humaine, et je ne suis pas sûr de la première. »
