Apollonius

pergai Apollonius munkája kiterjesztette a geometriai konstrukciók területét messze az elemek tartományán túl. Például Euklidész a III. könyvben bemutatja, hogyan lehet kört rajzolni úgy, hogy három adott ponton áthaladjon, vagy három adott vonal érintője legyen; Apollonius (nevű műben Tangenciák, amely már nem marad fenn) a kört három adott kör érintőjének, vagy három pont, vonal és kör bármely kombinációjának érintőjének találta. (A háromkörös érintő konstrukció, az egyik legszélesebb körben tanulmányozott geometriai probléma, több mint 100 különböző megoldást vonzott a modern időszakban.)

Apollonius legismertebb az övéről Conics, értekezés nyolc könyvben (az I–IV Könyvek görögül maradnak fenn, V–VII középkori arab fordításban; a VIII.könyv elveszett). A kúpos szakaszok azok a görbék, amelyek akkor alakulnak ki, amikor egy sík metszi a kúp (vagy kettős kúp) felületét. Feltételezzük, hogy a kúp felületét egy vonal forgása generálja egy rögzített ponton keresztül egy kör kerülete körül, amely egy síkban van, amely nem tartalmazza ezt a pontot. (A rögzített pont a kúp csúcsa, az elforgatott vonal pedig a generátora.) Három alaptípus létezik: ha a vágási sík párhuzamos a generátor egyik helyzetével, akkor parabolát hoz létre; ha csak a csúcs egyik oldalán találkozik a kúppal, akkor ellipszist hoz létre (amelynek a kör különleges eset); de ha a kúp mindkét részével találkozik, akkor hiperbolát hoz létre. Apollonius részletesen meghatározza ezeknek a görbéknek a tulajdonságait. Megmutatja például, hogy az adott a és b vonalszakasz esetében a parabola megfelel az Y2 = ax, az ellipszis az y2 = ax − ax2/b, a hiperbola pedig az y2 = ax + ax2/b relációnak.

Apollonius értekezését conics részben konszolidált több mint egy évszázados munka előtte, és részben bemutatott új megállapításokat a saját. Mint korábban említettük, Euklidész már kiadott egy tankönyvet a kúpokról, míg még korábban a Menaechmus szerepet játszott tanulmányukban. Azok a nevek, amelyeket Apollonius a görbékhez választott (a kifejezések eredetiek lehetnek vele), még egy korábbi kapcsolatot jeleznek. A pre-euklideszi geometriában a Parabol egy adott műveletre utal, egy adott terület ” alkalmazása “egy adott vonalra, amelyben az x vonalat úgy keressük, hogy ax = b2 (ahol a és b sorokat adnak); alternatív megoldásként x kereshető úgy, hogy x(a + x) = b2, vagy x(A − x) = b2, és ezekben az esetekben az alkalmazást” feleslegben “(hiperbol) vagy” hibában ” (elleipsis) mondják egy négyzet alakú ábra mennyiségével (nevezetesen x2). Ezek a konstrukciók, amelyek az Általános másodfokú geometriai megoldását jelentik, megjelennek az elemek I., II.és VI. könyvében, és valamilyen formában társíthatók az 5. századi Pitagoraiakhoz.

Apollonius átfogó felmérést mutatott be ezen görbék tulajdonságairól. Az általa tárgyalt témák mintája a következőket tartalmazza: a kúpok átmérőinek és érintőinek megfelelő kapcsolatok (I. könyv); hogyan kapcsolódnak a hiperbolák az “aszimptotákhoz”, azokhoz a vonalakhoz, amelyekhez soha nem találkoznak (II. könyv) ; Hogyan lehet érintőket rajzolni az adott kúpokhoz (II. könyv); a kúpokban metsző akkordok kapcsolatai (III. könyv); a kúpok metszési módjainak számának meghatározása (IV.könyv); Hogyan kell felhívni a “normál” vonalakat a kúpokra (vagyis a derékszögben találkozó vonalakat; V. könyv); valamint a kúpok kongruenciája és hasonlósága (Vi. könyv).

Apollonius kifejezett kijelentésével eredményei elsősorban a geometriai problémák kúpos megoldásának módszereként használhatók. Bár valójában csak korlátozott számú problémát oldott meg, sok más megoldását tételeiből lehet következtetni. Könyv tételei lehetővé teszik az adott pontokon áthaladó vagy adott vonalakat érintő kúpok meghatározását. Egy másik (most Elveszett) műben Apollonius megoldotta a kocka duplikációjának problémáját conics (valamilyen módon kapcsolódik a Menaechmus által adott megoldáshoz); továbbá a Pappus által adott szögtriszekció problémájának megoldása Apolloniustól származhatott, vagy munkája befolyásolta.

az Euclid, Apollonius és követőik által a geometriai problémák területének előrehaladásával helyénvaló lett egy osztályozási rendszer bevezetése: azokat a problémákat, amelyek a kúpok segítségével megoldhatók, szilárdnak, míg azokat, amelyek csak körökkel és vonalakkal oldhatók meg (amint azt Euklidész elemeiben feltételezzük) síknak nevezték. Így a négyzetet sík eszközökkel meg lehet duplázni (mint az elemek, II.könyv, 14. javaslat), de a kockát nem lehet ilyen módon megduplázni, bár szilárd felépítés lehetséges (a fentiek szerint). Hasonlóképpen, bármely szög felezése sík konstrukció (amint azt az elemek, I. könyv, 9.javaslat mutatja), de a szög általános triszekciója szilárd típusú. Nem ismert, hogy mikor vezették be először a besorolást, vagy amikor a síkbeli módszereket kanonikus státushoz rendelték a többihez képest, de valószínűnek tűnik ezt Apollonius idejéhez közelíteni. Sőt, sok munkája-könyvek, mint a Tangencies, a szegélyek (vagy hajlamok), és a sík Loci, most elveszett, de bőségesen által leírt Pappus—bekapcsolja a projekt meghatározásának területén sík konstrukciók kapcsolatban megoldások más eszközökkel. A görög geometria elvei alapján azonban nem bizonyítható, hogy lehetetlen síkbeli eszközökkel megvalósítani bizonyos szilárd konstrukciókat (például a kocka duplikációját és a szögtriszekciót). Ezeket az eredményeket csak az algebraisták állapították meg a 19.században (nevezetesen a francia matematikus Pierre Laurent Wantzel 1837-ben).

a problémák egy harmadik osztálya, az úgynevezett lineáris, magába foglalta azokat, amelyek a körön és a kúpokon kívül más görbékkel is megoldhatók (görögül a “vonal” szó, a grammban szereplő minden vonalra vonatkozik, legyen az ívelt vagy egyenes). Például a görbék egyik csoportja, a conchoids (a görög “shell” szóból) úgy alakulnak ki, hogy egy vonalzón egy bizonyos hosszúságot megjelölnek, majd egy rögzített pont körül elforgatják oly módon, hogy az egyik megjelölt pont egy adott vonalon maradjon; a másik megjelölt pont egy conchoidot nyomoz ki. Ezek a görbék bárhol használhatók, ahol egy megoldás egy megjelölt vonalzó elhelyezését jelenti egy adott vonalhoz képest (görögül az ilyen konstrukciókat nevezzük neuses, vagy egy vonal “szegélyei” egy adott pontig). Például bármely hegyesszög (a téglalap egyik oldala és átlója közötti szögként ábrázolva) triszektálható úgy, hogy az átló kétszeresének megfelelő hosszúságot vesz fel, és addig mozgatja, amíg a téglalap két másik oldala közé nem kerül. Ha ehelyett az egyik oldalhoz viszonyított megfelelő kagylót vezetjük be, akkor a vonal kívánt helyzetét mozgó vonalzó próbaverziója nélkül lehet meghatározni. Mivel ugyanazt a konstrukciót hiperbola segítségével lehet végrehajtani, a probléma azonban nem lineáris, hanem szilárd. A kagylók ilyen felhasználását Nikomédész (I.E. 3. század közepe vagy vége) mutatta be, és úgy tűnik, hogy helyettesítésük egyenértékű szilárd konstrukciókkal hamarosan megtörtént, talán Apollonius vagy társai.

a problémamegoldáshoz használt görbék egy része nem annyira redukálható. Például az Archimédészi spirál párosítja egy pont egyenletes mozgását egy félsugáron, a sugár egyenletes forgásával a végén lévő rögzített pont körül (lásd oldalsáv: Hippias Kvadratrixja). Az ilyen görbék elsődleges érdekük a kör négyszögesítése és a szög triszektálása.