무한대보다 더 많은 매력과 혼란을 행사 한 숫자는 거의 없습니다. 나는 어린 나이에 아버지에게 우주가 영원히 계속되는지 묻는 것을 기억할 수 있습니다. 그는 당신이 우주로 아무리 멀리 여행해도 항상 당신의 팔을 그 너머의 공허로 뻗을 수 있기 때문에 이것이 그렇게되어야한다고 대답했다.
시간과 같은 것:그것은 영원히 계속 될 것이며,그것은 과거로 무한히 멀리 뻗어 있습니까?
철학자들과 과학자들은 오랜 세월 동안 이러한 질문들과 씨름해 왔지만,그 기간 동안 개념으로서의’무한’은 잘 정의되어 있지 않았다.
19 세기에 수학자들이 무한대를 숫자로 일관된 방식으로 조작하는 법을 배웠을 때 모든 것이 바뀌었다. 그러나 그 규칙은 많은 놀라움을 낳습니다.
자연수–1,2,3 등을 고려하십시오. 그들은 제한 없이 계속. 자연수의 무한대가 있습니다. 이제 물어보세요,짝수보다 자연수가 더 많습니까? 결국,짝수(2,4,6 등)는 홀수(홀수)가 산재 해있는 자연수 내에 포함됩니다.
자연수가 짝수보다 두 배나 많다고 말하는 것이 유혹적이다. 그러나 그것은 잘못된 것입니다.
우리가 두 세트의 물체가 같다고 말할 때,우리는 그것들을 하나씩 대응하게 한다. 예를 들어,내가 발가락과 같은 수의 손가락을 가지고 있다고 주장한다면,나는 모든 손가락에 대해 발가락이 남아 있지 않고 마무리에서 타의 추종을 불허하는 손가락이 남아 있지 않은 한 발가락에 해당한다는 것을 의미합니다.
이제 자연수와 짝수에 대해 동일한 작업을 수행합니다. 모든 자연수에 대해 정확히 하나의 짝수가있을 것입니다. 각 시리즈가 무한 집합을 형성한다는 사실은 숫자 집합이 같은 크기라는 것을 의미하지만 한 집합이 다른 집합에 포함되어 있다는 것을 의미합니다!
이 결과는 무한대의 정의를 제공합니다:객체의 무한 집합이 너무 커서 그것을 더하거나 두 배로 더 크게 만들어지지 않으며,그것에서 빼거나 반으로 줄임으로써 더 작게 만들어지지 않습니다.
독일의 수학자 데이비드 힐베르트(아래 동영상 참조)가 1924 년 강의에서 무한한 수의 객실을 갖춘 호텔을 상상 한 것으로 유명한 역설이다. 호텔이 가득 경우에도,그는 지적,모든 손님이 자신의 방을 비우고 따라 하나를 이동하는 경우 그것은 여전히 새로운 손님을 수용 할 수,따라서 방 번호를 확보 1. 이것은 무한한 횟수로 수행 할 수 있습니다.
1924 년 독일 데이비드 힐베르트가 유명하게 만든 역설이다.
그럼에도 불구하고 수학자들이’셀 수 있는’무한 집합으로 지칭하는 자연수의 무한대를 가장 큰 숫자로 생각하는 것은 잘못된 것이다.
예를 들어 1 과 2 사이에는 3/5 및 7917/384431 과 같은 무한한 수의 숫자가 있습니다. 우리가 더 많은 분수를 만들기 위해 분자와 분모에 추가 할 수 있습니다 얼마나 많은 자리에는 제한이 없습니다. 그럼에도 불구 하 고,그것은 모든 분수의 집합은 사실 자연 수의 집합 보다 더 큰 배울 놀랄 하지 않습니다: 그들은 셀 수없이 무한한 세트를 형성합니다.
그러나 1 과 2 사이의 모든 숫자가 분수는 아닙니다:일부 소수(점 뒤에 무한한 숫자가 있음)는 분수로 표현 될 수 없습니다. 예를 들어,2 의 제곱근은 그러한 숫자 중 하나입니다. 그것은 두 정수의 비율로 표현 될 수 없기 때문에’불합리한’숫자로 알려져 있습니다. 이것은 동일한 간격의 자연수(1,2,3 등)로 표시된 연속 선을 구상함으로써 가장 잘 이해됩니다. 예를 들어 1 과 2 사이에 무한한 수의 점이 있으며 각 점은 10 진수에 해당합니다. 그 선에서 얼마나 작은 간격과 얼마나 확대 되든,무한한 수의 소수에 해당하는 무한한 수의 점이 여전히 존재할 것입니다.
그것은 연속 라인에있는 모든 점의 집합이 자연수보다 더 큰 무한대 것으로 나타났다;수학자는 라인에 점의 헤아릴 수없는 무한한 수(3 차원 공간)가 말한다. 당신은 단순히 일대일 대응에서 자연수와 라인의 각 지점을 일치시킬 수 없습니다.
그래서 무한대에는 두 가지 유형이 있습니다.; 이 열에 대해 유한 한 수의 단어 만 할당되었습니다. 공간에 대한 나의 아버지의 대답으로 돌아가서,마치자:그것은 무한한가? 음,예,아니오.
그것이 연속적이라면(그리고 일부 물리학 자들은 그렇지 않을 수도 있다고 생각한다),그것은 헤아릴 수 없을 정도로 무한한 수의 점을 포함 할 것이다. 그러나 그것이 영원히 계속되어야한다는 것을 의미하지는 않습니다. 아인슈타인이 발견 한 바와 같이,그것은 유한 한 볼륨을 형성하기 위해 그 자체로 구부러 질 수 있습니다.
이것은 한 번 발언에 그를 주도:”오직 두 가지 무한하다,우주와 인간의 어리 석음,나는 전자에 대한 확실하지 않다.”
