Få tall har utøvd mer fascinasjon og forvirring enn uendelig. Jeg kan huske å spørre min far i ung alder om rommet gikk for alltid. Han svarte at dette må være slik fordi, uansett hvor langt du reiste ut i rommet, du kan alltid strekke ut armen inn i et tomrom utover.
Samme ting med tiden: vil det fortsette i all evighet, og strekker det seg uendelig langt tilbake i fortiden?
Filosofer og forskere har kjempet med disse spørsmålene gjennom tidene, men for det meste var uendelig som et konsept ikke veldefinert.
alt som endret seg i det 19.århundre da matematikere lærte å manipulere uendelig som et tall på en konsistent måte. Men disse reglene våren mange overraskelser.
Vurder de naturlige tallene-1, 2, 3 og så videre. De fortsetter uten grenser. Det er en uendelighet av naturlige tall. Spør nå, er det flere naturlige tall enn like tall? Tross alt er de jevne tallene-2, 4, 6 og så videre – inneholdt i de naturlige tallene, interspersed med odde.
det er fristende å si at det er dobbelt så mange naturlige tall som partall. Men det er galt.
når vi sier at to sett med objekter er like, legger vi dem i korrespondanse på en-for-en-basis. For eksempel, hvis jeg hevder at jeg har samme antall fingre som tær, mener jeg at for hver finger tilsvarer det en tå, uten tær igjen og ingen fingre igjen uovertruffen på mål.
gjør nå det samme for naturlige tall og like tall: par 1 med 2, 2 med 4, 3 med 6, og så videre. Det vil være nøyaktig ett jevnt tall for hvert naturlig tall. Det faktum at hver serie danner et uendelig sett betyr at settene med tall er like store, selv om ett sett er inneholdt i det andre!
dette resultatet gir en definisjon av uendelighet: et uendelig sett med objekter er så stort at det ikke blir større ved å legge til det eller doble det; det blir heller ikke gjort noe mindre ved å trekke fra det eller halvere det.
det er et paradoks gjort berømt av den tyske matematikeren David Hilbert (se videoen nedenfor) som i et foredrag levert i 1924, forutså et hotell med et uendelig antall rom. Selv når hotellet er fullt, påpekte han, kan det fortsatt imøtekomme nye gjester hvis hver gjest forlater rommet sitt og flytter en sammen, og dermed frigjør rom nummer 1. Dette kan gjøres et uendelig antall ganger.
det er et paradoks gjort berømt av tyske David Hilbert i 1924.
til tross for dette ville det være galt å tenke på uendeligheten av naturlige tall – som matematikere refererer til som et uendelig uendelig sett, fordi du kan telle medlemmene en etter en – som det største tenkelige tallet.
mellom 1 og 2 ligger for eksempel et uendelig antall tall, for eksempel 3/5 og 7917/384431. Det er ingen grense for hvor mange sifre vi kan legge til telleren og nevnen for å lage flere fraksjoner. Likevel vil det ikke overraske deg å lære at settet av alle fraksjoner faktisk ikke er større enn settet av naturlige tall: de danner også et uendelig sett.
Men ikke alle tall mellom 1 og 2 er brøker: noen desimaler (med uendelig antall sifre etter punktet) kan ikke uttrykkes som brøker. For eksempel er kvadratroten av 2 et slikt tall. Det er kjent som et irrasjonelt tall fordi det ikke kan uttrykkes som forholdet mellom to heltall. Dette forstås best ved å forestille seg en kontinuerlig linje, merket med like fordelte naturlige tall: 1, 2, 3 og så videre. Det vil være et uendelig antall poeng mellom 1 og 2, for eksempel, med hvert punkt som tilsvarer et desimalnummer. Uansett hvor lite et intervall på den linjen og hvor mye du forstørrer det, vil det fortsatt være et uendelig antall poeng som tilsvarer et uendelig antall desimaler.
det viser seg at settet av alle punkter på en kontinuerlig linje er en større uendelighet enn de naturlige tallene; matematikere sier at det er et uendelig uendelig antall punkter på linjen (og i tredimensjonalt rom). Du kan rett og slett ikke matche opp hvert punkt på linjen med de naturlige tallene i en en-til-en korrespondanse.
så det er to typer uendelig, og det stopper ikke der, men jeg vil; Jeg har blitt tildelt bare et begrenset antall ord for denne kolonnen. La meg avslutte med å gå tilbake til min fars svar om plass: er det uendelig? Ja og nei.
hvis det er kontinuerlig (og noen fysikere tror det kanskje ikke er), vil det inneholde et uendelig uendelig antall poeng. Men det betyr ikke at det må fortsette for alltid. Som Einstein oppdaget, kan Det være buet inn på seg selv for å danne et endelig volum.
dette førte til at han en gang sa: «bare to ting er uendelige, universet og menneskelig dumhet, og jeg er ikke sikker på det første.»
