Apollonius

arbetet med Apollonius av Perga utvidgade området för geometriska konstruktioner långt bortom området i elementen. Till exempel visar Euclid i bok III hur man ritar en cirkel för att passera genom tre givna punkter eller för att vara tangent till tre givna linjer; Apollonius (i ett arbete som heter Tangenser, som inte längre överlever) hittade cirkeln tangent till tre givna cirklar, eller tangent till någon kombination av tre punkter, linjer och cirklar. (Trecirkeltangenskonstruktionen, ett av de mest omfattande studerade geometriska problemen, har lockat mer än 100 olika lösningar under den moderna perioden.)

Apollonius är mest känd för sina Koniker, en avhandling i åtta böcker (böcker i–IV överlever på grekiska, V–VII i en medeltida arabisk översättning; bok VIII är förlorad). De koniska sektionerna är kurvorna som bildas när ett plan skär ytan på en kon (eller dubbel kon). Det antas att konens yta genereras genom rotation av en linje genom en fast punkt runt omkretsen av en cirkel som ligger i ett plan som inte innehåller den punkten. (Den fasta punkten är konens toppunkt och den roterade linjen dess generator.) Det finns tre grundläggande typer: om skärplanet är parallellt med en av generatorns positioner, producerar den en parabola; om den bara möter konen på ena sidan av vertexen, producerar den en ellips (varav cirkeln är ett speciellt fall); men om den möter båda delarna av konen, producerar den en hyperbola. Apollonius beskriver i detalj egenskaperna hos dessa kurvor. Han visar till exempel att för givna linjesegment A och b motsvarar parabolen förhållandet (i modern notation) y2 = ax, ellipsen till y2 = ax-ax2 / b och hyperbolan till y2 = ax + ax2/B.

Apollonius avhandling om Konik konsoliderade delvis mer än ett sekels arbete framför honom och presenterade delvis nya egna resultat. Som tidigare nämnts hade Euclid redan utfärdat en lärobok om konerna, medan ännu tidigare Menaechmus hade spelat en roll i sin studie. Namnen som Apollonius valde för kurvorna (termerna kan vara originella med honom) indikerar ännu en tidigare anslutning. I den pre-euklidiska geometrin hänvisade parabolxi till en specifik operation, ”tillämpning ”av ett givet område till en given linje, där linjen x söks så att ax = b2 (där A och b ges linjer); alternativt kan X sökas så att x(a + x) = b2 eller x(A − x) = b2, och i dessa fall sägs ansökan vara i” överskott ”(hyperbolxi) eller” defekt ” (elleipsis) med mängden av en kvadratisk figur (nämligen x2). Dessa konstruktioner, som uppgår till en geometrisk lösning av den allmänna kvadratiska, visas i böcker I, II, och VI av elementen och kan associeras i någon form med den 5: e-talet Pythagoreans.

Apollonius presenterade en omfattande undersökning av egenskaperna hos dessa kurvor. Ett urval av de ämnen han täckte inkluderar följande: relationerna nöjda med diametrarna och tangenterna av koner( bok i); hur hyperbolor är relaterade till deras ”asymptoter”, de linjer de närmar sig utan att någonsin mötas (Bok II); hur man ritar tangenter till givna koner (Bok II); relationer mellan ackord som skär i koniker (bok III); bestämningen av antalet sätt på vilka koniker kan korsas (bok IV); hur man ritar ”normala” linjer till koniker (det vill säga linjer som möter dem i rät vinkel; bok V); och kongruens och likhet med koniker (bok VI).

genom Apollonius uttryckliga uttalande är hans resultat av huvudsaklig användning som metoder för att lösa geometriska problem via Konik. Medan han faktiskt bara löste en begränsad uppsättning problem, kan många andras lösningar härledas från hans teorier. Till exempel, satserna i bok III tillåter bestämning av koner som passerar genom givna punkter eller är tangent till givna linjer. I ett annat arbete (nu förlorat) löste Apollonius problemet med kubduplikation av koner (en lösning relaterad på något sätt till den som gavs av Menaechmus); vidare kan en lösning av problemet med vinkeltrisektion som Pappus gav ha kommit från Apollonius eller påverkats av hans arbete.

med framstegen inom området geometriska problem av Euclid, Apollonius och deras anhängare blev det lämpligt att införa ett klassificeringsschema: dessa problem som kan lösas med hjälp av koner kallades fasta, medan de som kan lösas med hjälp av cirklar och linjer endast (som antas i Euclids element) kallades plana. Således kan man fördubbla torget med plana medel (som i Elements, Book II, proposition 14), men man kan inte fördubbla kuben på ett sådant sätt, även om en solid konstruktion är möjlig (som anges ovan). På samma sätt är bisektionen av vilken vinkel som helst en plan konstruktion (som visas i Element, bok i, proposition 9), men den allmänna trisektionen av vinkeln är av fast typ. Det är inte känt när klassificeringen först infördes eller när de plana metoderna tilldelades kanonisk status i förhållande till de andra, men det verkar troligt att datera detta nära Apollonius tid. Faktum är att mycket av hans verk—böcker som Tangentierna, Vergingsna (eller lutningarna) och Planet Loci, nu förlorade men tydligt beskrivna av Pappus—slår på projektet att fastställa domänen för plana konstruktioner i förhållande till lösningar på andra sätt. På grundval av principerna för grekisk geometri kan det emellertid inte påvisas att det är omöjligt att åstadkomma med plana medel vissa fasta konstruktioner (som kubdubblering och vinkeltrisektion). Dessa resultat fastställdes endast av algebraister i 19th century (särskilt av den franska matematikern Pierre Laurent Wantzel 1837).

en tredje klass av problem, kallad linjär, omfamnade de lösbara med hjälp av andra kurvor än cirkeln och konerna (på grekiska ordet för ”linje”, grammisboken, hänvisar till alla linjer, oavsett om de är böjda eller raka). Till exempel bildas en grupp kurvor, conchoids (från det grekiska ordet för ”skal”) genom att markera en viss längd på en linjal och sedan svänga den runt en fast punkt på ett sådant sätt att en av de markerade punkterna stannar på en given linje; den andra markerade punkten spårar ut en conchoid. Dessa kurvor kan användas varhelst en lösning involverar positionering av en markerad linjal i förhållande till en given linje (på grekiska kallas sådana konstruktioner neuses, eller ”vergings” av en linje till en given punkt). Till exempel kan någon spetsig vinkel (figurerad som vinkeln mellan ena sidan och diagonalen i en rektangel) trisekteras genom att ta en längd som är lika med två gånger diagonalen och flytta den tills den kommer att införas mellan två andra sidor av rektangeln. Om istället lämplig conchoid i förhållande till någon av dessa sidor införs, kan linjens önskade position bestämmas utan försök och fel hos en rörlig linjal. Eftersom samma konstruktion kan utföras med hjälp av en hyperbola är problemet emellertid inte linjärt utan fast. Sådana användningar av conchoids presenterades av Nicomedes (mitten eller slutet av 3: e århundradet f.kr.), och deras ersättning med motsvarande fasta konstruktioner verkar ha kommit strax efter, kanske av Apollonius eller hans medarbetare.

några av kurvorna som används för problemlösning är inte så reducerbara. Till exempel kopplar den arkimediska spiralen enhetlig rörelse av en punkt på en halv stråle med enhetlig rotation av strålen runt en fast punkt i slutet (se sidofältet: Quadratrix of Hippias). Sådana kurvor har sitt huvudsakliga intresse som medel för kvadrering av cirkeln och trisecting vinkeln.