Apolonio

El trabajo de Apolonio de Perga extendió el campo de las construcciones geométricas mucho más allá del rango de los Elementos. Por ejemplo, Euclides en el Libro III muestra cómo dibujar un círculo para pasar a través de tres puntos dados o para ser tangente a tres líneas dadas; Apolonio (en una obra llamada Tangencias, que ya no sobrevive) encontró el círculo tangente a tres círculos dados, o tangente a cualquier combinación de tres puntos, líneas y círculos. (La construcción de tangencia de tres círculos, uno de los problemas geométricos más estudiados, ha atraído más de 100 soluciones diferentes en el período moderno.)

Apolonio es mejor conocido por sus Cónicas, un tratado en ocho libros (Los libros I–IV sobreviven en griego, V–VII en una traducción árabe medieval; el Libro VIII se ha perdido). Las secciones cónicas son las curvas que se forman cuando un plano se cruza con la superficie de un cono (o cono doble). Se supone que la superficie del cono se genera por la rotación de una línea a través de un punto fijo alrededor de la circunferencia de un círculo que está en un plano que no contiene ese punto. (El punto fijo es el vértice del cono, y la línea girada su generador. Hay tres tipos básicos: si el plano de corte es paralelo a una de las posiciones del generador, produce una parábola; si se encuentra con el cono solo en un lado del vértice, produce una elipse (de la cual el círculo es un caso especial); pero si se encuentra con ambas partes del cono, produce una hipérbola. Apolonio expone en detalle las propiedades de estas curvas. Muestra, por ejemplo, que para segmentos de línea dados a y b la parábola corresponde a la relación (en notación moderna) y2 = ax, la elipse a y2 = ax − ax2 / b, y la hipérbola a y2 = ax + ax2/b.

El tratado de Apolonio sobre las cónicas consolidó en parte más de un siglo de trabajo antes que él y en parte presentó nuevos hallazgos propios. Como se mencionó anteriormente, Euclides ya había publicado un libro de texto sobre las cónicas, mientras que incluso antes el Menaecmo había desempeñado un papel en su estudio. Los nombres que Apolonio eligió para las curvas (los términos pueden ser originales con él) indican una conexión anterior. En la geometría preeuclidiana parabolē se refería a una operación específica, la «aplicación» de un área dada a una línea dada, en la que se busca la línea x de tal manera que ax = b2 (donde a y b se dan líneas); alternativamente, se puede buscar x de tal manera que x (a + x) = b2, o x (a-x) = b2, y en estos casos se dice que la aplicación está en «exceso» (hyperbolē) o» defecto » (elleipsis) por la cantidad de una figura cuadrada (es decir, x2).. Estas construcciones, que equivalen a una solución geométrica de la cuadrática general, aparecen en los Libros I, II y VI de los Elementos y pueden asociarse de alguna forma con los pitagóricos del siglo V.

Apolonio presentó un estudio exhaustivo de las propiedades de estas curvas. Una muestra de los temas que cubrió incluye los siguientes: las relaciones satisfechas por los diámetros y tangentes de las cónicas( Libro I); cómo se relacionan las hipérbolas con sus «asíntotas», las líneas a las que se acercan sin encontrarse (Libro II); cómo dibujar tangentes a cónicas dadas (Libro II); relaciones de los acordes que se cruzan en cónicas (Libro III); la determinación del número de formas en que las cónicas pueden intersectarse (Libro IV); cómo dibujar líneas «normales» en cónicas (es decir, líneas que se encuentran en ángulos rectos; Libro V); y la congruencia y similitud de las cónicas (Libro VI).

Por la declaración explícita de Apolonio, sus resultados son de uso principal como métodos para la solución de problemas geométricos a través de cónicas. Si bien en realidad resolvió solo un conjunto limitado de problemas, las soluciones de muchos otros se pueden inferir de sus teoremas. Por ejemplo, los teoremas del Libro III permiten la determinación de las cónicas que pasan a través de puntos dados o son tangentes a líneas dadas. En otro trabajo (ahora perdido), Apolonio resolvió el problema de la duplicación de cubos por cónicas (una solución relacionada de alguna manera con la dada por Menecmo); además, una solución del problema de la trisección de ángulos dada por Pappo puede haber venido de Apolonio o haber sido influenciada por su trabajo.

Con el avance del campo de los problemas geométricos por Euclides, Apolonio y sus seguidores, se hizo apropiado introducir un esquema de clasificación: aquellos problemas que se podían resolver por medio de cónicas se llamaban sólidos, mientras que aquellos que se podían resolver solo por medio de círculos y líneas (como se supone en los Elementos de Euclides) se llamaban planos. Por lo tanto, se puede duplicar el cuadrado por medios planos (como en Elementos, Libro II, proposición 14), pero no se puede duplicar el cubo de esa manera, aunque es posible una construcción sólida (como se indicó anteriormente). De manera similar, la bisección de cualquier ángulo es una construcción plana (como se muestra en Elementos, Libro I, proposición 9), pero la trisección general del ángulo es de tipo sólido. No se sabe cuándo se introdujo por primera vez la clasificación o cuándo se asignó a los métodos planos un estado canónico en relación con los demás, pero parece plausible fechar esto cerca de la época de Apolonio. De hecho, gran parte de su obra, libros como las Tangencias, los Vergeles (o Inclinaciones) y los Loci Planos, ahora perdidos pero ampliamente descritos por Pappus, gira en el proyecto de establecer el dominio de las construcciones planas en relación con soluciones por otros medios. Sobre la base de los principios de la geometría griega, no se puede demostrar, sin embargo, que es imposible realizar por medios planos ciertas construcciones sólidas (como la duplicación de cubos y la trisección de ángulos). Estos resultados fueron establecidos solo por algebraistas en el siglo XIX (especialmente por el matemático francés Pierre Laurent Wantzel en 1837).

Una tercera clase de problemas, llamados lineales, abarcaba aquellos que se podían resolver por medio de curvas que no fueran el círculo y las cónicas (en griego, la palabra para «línea», grammē, se refiere a todas las líneas, ya sean curvas o rectas). Por ejemplo, un grupo de curvas, los conchoides (de la palabra griega para «concha»), se forman marcando una cierta longitud en una regla y luego girándola sobre un punto fijo de tal manera que uno de los puntos marcados permanece en una línea dada; el otro punto marcado traza un conchoide. Estas curvas se pueden usar siempre que una solución implique el posicionamiento de una regla marcada en relación con una línea dada (en griego, tales construcciones se llaman neuses, o «bordes» de una línea a un punto dado). Por ejemplo, cualquier ángulo agudo (calculado como el ángulo entre un lado y la diagonal de un rectángulo) se puede triseccionar tomando una longitud igual al doble de la diagonal y moviéndolo hasta que se inserte entre otros dos lados del rectángulo. Si en cambio se introduce el caracol apropiado relativo a cualquiera de esos lados, la posición requerida de la línea se puede determinar sin el ensayo y error de una regla móvil. Debido a que la misma construcción se puede efectuar por medio de una hipérbola, sin embargo, el problema no es lineal sino sólido. Tales usos de los caracoides fueron presentados por Nicomedes (mediados o finales del siglo III a. c.), y su reemplazo por construcciones sólidas equivalentes parece haber venido poco después, quizás por Apolonio o sus asociados.

Algunas de las curvas utilizadas para resolver problemas no son tan reducibles. Por ejemplo, la espiral Arquimedea acopla el movimiento uniforme de un punto en un medio rayo con rotación uniforme del rayo alrededor de un punto fijo en su extremo (ver Barra lateral: Cuadrilla de Hipias). Tales curvas tienen su interés principal como medio para cuadrar el círculo y triseccionar el ángulo.