Apollonius

Apollonius af Perga ‘ s arbejde udvidede feltet af geometriske konstruktioner langt ud over området i elementerne. For eksempel viser Euclid i bog III, hvordan man tegner en cirkel for at passere gennem tre givne punkter eller være tangent til tre givne linjer; Apollonius (i et værk kaldet Tangenser, som ikke længere overlever) fandt cirklen tangent til tre givne cirkler eller tangent til enhver kombination af tre punkter, linjer og cirkler. (Den tre-cirkel tangency konstruktion, et af de mest omfattende studerede geometriske problemer, har tiltrukket mere end 100 forskellige løsninger i den moderne periode.)

Apollonius er bedst kendt for sine Conics, en afhandling i otte bøger (bøger i–IV overlever på græsk, V–VII i en middelalderlig arabisk oversættelse; bog VIII er tabt). De koniske sektioner er de kurver, der dannes, når et plan skærer overfladen af en kegle (eller dobbeltkegle). Det antages, at keglens overflade genereres ved rotation af en linje gennem et fast punkt omkring omkredsen af en cirkel, der er i et plan, der ikke indeholder dette punkt. (Det faste punkt er keglens toppunkt, og den roterede linje er dens generator.) Der er tre grundlæggende typer: hvis skæreplanet er parallelt med en af generatorens positioner, producerer det en parabola; hvis den kun møder keglen på den ene side af toppunktet, producerer den en ellipse (hvoraf cirklen er et specielt tilfælde); men hvis den møder begge dele af keglen, producerer den en hyperbola. Apollonius beskriver i detaljer egenskaberne af disse kurver. Han viser for eksempel, at for givne linjesegmenter A og b svarer parabolen til forholdet (i moderne notation) y2 = økse, ellipsen til y2 = økse-økse2 / b og hyperbolen til y2 = økse + økse2 / b.

Apollonius ‘ afhandling om conics konsoliderede delvist mere end et århundredes arbejde foran ham og præsenterede til dels nye egne fund. Som tidligere nævnt havde Euclid allerede udstedt en lærebog om conics, mens endnu tidligere Menaechmus havde spillet en rolle i deres undersøgelse. De navne, som Apollonius valgte til kurverne (udtrykkene kan være originale med ham) indikerer endnu en tidligere forbindelse. I den præ-euklidiske geometri refererede parabolkrus til en specifik operation, ” anvendelse “af et givet område til en given linje, hvor linjen søges således, at økse = b2 (hvor A og b er givet linjer); alternativt kan søges sådan, at h(a + h) = b2 eller H(a − H) = b2, og i disse tilfælde siges applikationen at være i” overskydende “(hyperbolkrus) eller” defekt ” (elleipsis) med mængden af en firkantet figur (nemlig H2). Disse konstruktioner, der svarer til en geometrisk løsning af den generelle kvadratiske, vises i bøger i, II og vi af elementerne og kan i en eller anden form forbindes med pythagoreerne fra det 5.århundrede.

Apollonius præsenterede en omfattende undersøgelse af egenskaberne af disse kurver. En prøve af de emner, han dækkede, inkluderer følgende: forholdet tilfreds med konikernes diametre og tangenter (bog i); hvordan hyperboler er relateret til deres “asymptoter”, de linjer, de nærmer sig uden nogensinde at mødes (Bog II); hvordan man tegner tangenter til givne Konik (Bog II); forholdet mellem akkorder, der krydser hinanden i Konik (bog III); bestemmelsen af antallet af måder, hvorpå Konik kan krydse (bog IV); hvordan man tegner “normale” linjer til Konik (det vil sige linjer, der møder dem vinkelret; bog V); og kongruens og lighed mellem Konik (bog VI).

ved Apollonius ‘ eksplicitte erklæring er hans resultater af hovedanvendelse som metoder til løsning af geometriske problemer via conics. Mens han faktisk kun løste et begrænset sæt problemer, kan mange andres løsninger udledes af hans sætninger. For eksempel tillader sætningerne i bog III bestemmelse af kegler, der passerer gennem givne punkter eller er tangent til givne linjer. I et andet værk (nu tabt) løste Apollonius problemet med kubeduplikation med Konik (en løsning relateret på en eller anden måde til den, der blev givet af Menaechmus); yderligere kan en løsning på problemet med vinkelstrisektion givet af Pappus være kommet fra Apollonius eller blevet påvirket af hans arbejde.

med fremskridt inden for geometriske problemer af Euclid, Apollonius og deres tilhængere blev det hensigtsmæssigt at indføre en klassificeringsordning: disse problemer, der kan løses ved hjælp af Konik, blev kaldt faste, mens de, der kun kan løses ved hjælp af cirkler og linjer (som antaget i Euclids Elementer) blev kaldt plane. Således kan man fordoble firkanten med plane midler (som I elementer, Bog II, proposition 14), men man kan ikke fordoble terningen på en sådan måde, selvom en solid konstruktion er mulig (som angivet ovenfor). Tilsvarende er bisektion af enhver vinkel en plan konstruktion (som vist i elementer, bog i, proposition 9), men den generelle trisektion af vinklen er af den faste type. Det vides ikke, hvornår klassificeringen først blev introduceret, eller hvornår de plane metoder blev tildelt kanonisk status i forhold til de andre, men det synes plausibelt at datere dette nær Apollonius tid. Ja, meget af hans arbejde—bøger som Tangencies, the Vergings (eller tilbøjeligheder), og Plane Loci, nu tabt, men rigeligt beskrevet af Pappus—tænder projektet om at fastlægge domænet for plane konstruktioner i forhold til løsninger på andre måder. På grundlag af principperne for græsk geometri kan det imidlertid ikke demonstreres, at det er umuligt at gennemføre med plane midler visse faste konstruktioner (som kubeduplikation og vinkeltrisektion). Disse resultater blev kun etableret af algebraister i det 19.århundrede (især af den franske matematiker Pierre Laurent i 1837).

en tredje klasse af problemer, kaldet lineær, omfavnede dem, der kan løses ved hjælp af andre kurver end cirklen og keglerne (på græsk ordet for “linje”, gramml., henviser til alle linjer, hvad enten de er buede eller lige). For eksempel dannes en gruppe kurver, conchoiderne (fra det græske ord for “skal”) ved at markere en bestemt længde på en lineal og derefter dreje den om et fast punkt på en sådan måde, at et af de markerede punkter forbliver på en given linje; det andet markerede punkt sporer en conchoid. Disse kurver kan bruges overalt, hvor en løsning involverer placering af en markeret lineal i forhold til en given linje (på græsk kaldes sådanne konstruktioner neuses eller “vergings” af en linje til et givet punkt). For eksempel kan enhver spids vinkel (regnet som vinklen mellem den ene side og diagonalen i et rektangel) trises ved at tage en længde svarende til to gange diagonalen og flytte den rundt, indtil den kommer til at blive indsat mellem to andre sider af rektanglet. Hvis I stedet den passende conchoid i forhold til en af disse sider introduceres, kan den krævede position af linjen bestemmes uden forsøg og fejl af en bevægende lineal. Fordi den samme konstruktion kan udføres ved hjælp af en hyperbola, er problemet imidlertid ikke lineært, men solidt. Sådanne anvendelser af conchoiderne blev præsenteret af Nicomedes (midten eller slutningen af det 3.århundrede fvt), og deres erstatning med ækvivalente faste konstruktioner ser ud til at være kommet kort tid efter, måske af Apollonius eller hans medarbejdere.

nogle af kurverne, der bruges til problemløsning, er ikke så reducerbare. For eksempel parrer den arkimediske spiral ensartet bevægelse af et punkt på en halv stråle med ensartet rotation af strålen omkring et fast punkt i dens ende (se sidebjælke: kvadrat af hippier). Sådanne kurver har deres hovedinteresse som middel til kvadrering af cirklen og trisning af vinklen.