få tal har udøvet mere fascination og forvirring end uendelighed. Jeg kan huske, at jeg i en ung alder spurgte min far, om rummet fortsatte for evigt. Han svarede, at dette må være sådan, fordi, hvor langt du rejste ud i rummet, du kunne altid strække din arm ud i et tomrum ud over.
samme ting med tiden: vil det fortsætte i al evighed, og strækker det sig uendeligt langt tilbage i fortiden?
filosoffer og videnskabsmænd har kæmpet med disse spørgsmål gennem tiderne, men i det meste af den tid var ‘uendelighed’ som koncept ikke veldefineret.
alt det ændrede sig i det 19.århundrede, da matematikere lærte at manipulere uendelighed som et tal på en konsekvent måde. Men disse regler forår mange overraskelser.
overvej de naturlige tal – 1, 2, 3 og så videre. De fortsætter uden grænser. Der er en uendelighed af naturlige tal. Spørg nu, er der mere naturlige tal end lige tal? De lige tal – 2, 4, 6 og så videre-er trods alt indeholdt i de naturlige tal, blandet med ulige.
det er fristende at sige, at der er dobbelt så mange naturlige tal som lige tal. Men det er forkert.
når vi siger, at to sæt objekter er ens, sætter vi dem i korrespondance en efter en. For eksempel, hvis jeg hævder, at jeg har det samme antal fingre som tæer, mener jeg, at der for hver finger svarer til en tå, uden tæer tilbage og ingen fingre efterladt uovertruffen i mål.
gør nu det samme for naturlige tal og lige tal: par 1 med 2, 2 med 4, 3 med 6 osv. Der vil være nøjagtigt et lige tal for hvert naturligt tal. Det faktum, at hver serie danner et uendeligt sæt, betyder, at sæt af tal er af samme størrelse, selvom det ene sæt er indeholdt i det andet!
dette resultat giver en definition af uendelighed: et uendeligt sæt objekter er så stort, at det ikke gøres større ved at tilføje eller fordoble det; det gøres heller ikke mindre ved at trække fra det eller halvere det.
det er et paradoks, der er berømt af den tyske matematiker David Hilbert (se videoen nedenfor), der i et foredrag, der blev holdt i 1924, forestillede sig et hotel med et uendeligt antal værelser. Selv når hotellet er fyldt, påpegede han, det kan stadig rumme nye gæster, hvis hver gæst fraflytter deres værelse og flytter en sammen, og dermed frigøre værelse nummer 1. Dette kan gøres et uendeligt antal gange.
det er et paradoks, der blev berømt af tyske David Hilbert i 1924.
på trods af dette ville det være forkert at tænke på uendeligheden af naturlige tal – som matematikere omtaler som et ‘tælleligt’ uendeligt sæt, fordi du kan tælle medlemmerne en efter en – som det største tænkelige antal.
mellem 1 og 2 ligger for eksempel et uendeligt antal tal, såsom 3/5 og 7917/384431. Der er ingen grænse for, hvor mange cifre vi kan tilføje til tælleren og nævneren for at lave flere fraktioner. Ikke desto mindre vil det ikke overraske dig at lære at sæt af alle fraktioner faktisk ikke er større end sæt af naturlige tal: de danner også et uendeligt uendeligt sæt.
men ikke alle tal mellem 1 og 2 er fraktioner: nogle decimaler (med uendeligt antal cifre efter punktet) kan ikke udtrykkes som fraktioner. For eksempel er kvadratroden af 2 et sådant tal. Det er kendt som et ‘irrationelt’ tal, fordi det ikke kan udtrykkes som forholdet mellem to heltal. Dette forstås bedst ved at forestille sig en kontinuerlig linje, mærket med lige store naturlige tal: 1, 2, 3 og så videre. Der vil være et uendeligt antal punkter mellem 1 og 2, for eksempel med hvert punkt svarende til et decimaltal. Uanset hvor lille et interval på den linje, og hvor meget du forstørrer det, vil der stadig være et uendeligt antal point svarende til et uendeligt antal decimaler.
det viser sig, at sættet af alle punkter på en kontinuerlig linje er en større uendelighed end de naturlige tal; matematikere siger, at der er et uendeligt uendeligt antal punkter på linjen (og i tredimensionelt rum). Du kan simpelthen ikke matche hvert punkt på linjen med de naturlige tal i en en-til-en korrespondance.
så der er to typer uendelighed, og det stopper ikke der, men jeg vil; Jeg har kun fået tildelt et begrænset antal ord til denne kolonne. Lad mig afslutte med at vende tilbage til min fars svar om rummet: er det uendeligt? Ja og nej.
hvis det er kontinuerligt (og nogle fysikere tror, det måske ikke er), vil det indeholde et uendeligt uendeligt antal point. Men det betyder ikke, at det skal fortsætte for evigt. Som Einstein opdagede, kan det være buet ind på sig selv for at danne et endeligt volumen.
dette førte ham til en gang bemærkning: “kun to ting er uendelige, universet og menneskelig dumhed, og jeg er ikke sikker på førstnævnte.”
