Nur wenige Zahlen haben mehr Faszination und Verwirrung ausgeübt als die Unendlichkeit. Ich kann mich erinnern, dass ich meinen Vater in jungen Jahren gefragt habe, ob der Weltraum für immer weitergeht. Er antwortete, dass dies so sein muss, denn egal wie weit du in den Weltraum gereist bist, du könntest deinen Arm immer in eine Leere jenseits ausstrecken.
Dasselbe gilt für die Zeit: Wird es für alle Ewigkeit weitergehen und reicht es unendlich weit in die Vergangenheit zurück?
Philosophen und Wissenschaftler haben im Laufe der Jahrhunderte mit diesen Fragen gerungen, aber die meiste Zeit war ‚Unendlichkeit‘ als Begriff nicht genau definiert.
All das änderte sich im 19.Jahrhundert, als Mathematiker lernten, die Unendlichkeit als Zahl konsistent zu manipulieren. Aber diese Regeln bringen viele Überraschungen mit sich.
Betrachten Sie die natürlichen Zahlen – 1, 2, 3 und so weiter. Sie gehen ohne Grenzen weiter. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Nun fragen Sie, gibt es mehr natürliche Zahlen als gerade Zahlen? Schließlich sind die geraden Zahlen – 2, 4, 6 usw. – in den natürlichen Zahlen enthalten, die mit ungeraden durchsetzt sind.
Es ist verlockend zu sagen, dass es doppelt so viele natürliche Zahlen wie gerade Zahlen gibt. Aber das ist falsch.
Wenn wir sagen, dass zwei Sätze von Objekten gleich sind, setzen wir sie eins nach dem anderen in Übereinstimmung. Zum Beispiel, wenn ich behaupte, ich habe die gleiche Anzahl von Fingern wie Zehen, Ich meine, dass für jeden Finger ein Zeh entspricht, ohne Zehen übrig und ohne Finger am Ende unübertroffen.
Machen Sie nun dasselbe für natürliche Zahlen und gerade Zahlen: Paaren Sie 1 mit 2, 2 mit 4, 3 mit 6 und so weiter. Für jede natürliche Zahl gibt es genau eine gerade Zahl. Die Tatsache, dass jede Reihe eine unendliche Menge bildet, bedeutet, dass die Mengen von Zahlen gleich groß sind, obwohl eine Menge in der anderen enthalten ist!
Dieses Ergebnis gibt eine Definition der Unendlichkeit: Eine unendliche Menge von Objekten ist so groß, dass sie nicht größer gemacht wird, indem man sie addiert oder verdoppelt; noch wird es kleiner gemacht, indem man davon subtrahiert oder halbiert.
Es ist ein Paradoxon, das der deutsche Mathematiker David Hilbert (siehe Video unten) berühmt gemacht hat, der in einem Vortrag von 1924 ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern vorsah. Auch wenn das Hotel voll ist, er wies darauf hin, Es kann immer noch neue Gäste beherbergen, wenn jeder Gast sein Zimmer räumt und eines mitbewegt, Dadurch wird Raum Nummer 1 frei. Dies kann unendlich oft geschehen.
Es ist ein Paradoxon, das 1924 durch den deutschen David Hilbert berühmt wurde.
Trotzdem wäre es falsch, die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen – die Mathematiker als ‚zählbar‘ unendliche Menge bezeichnen, weil man die Mitglieder eins nach dem anderen zählen kann – als die größte denkbare Zahl zu betrachten.
Zwischen 1 und 2 liegen beispielsweise unendlich viele Zahlen, wie 3/5 und 7917/384431. Es gibt keine Begrenzung, wie viele Ziffern wir dem Zähler und Nenner hinzufügen können, um mehr Brüche zu erhalten. Trotzdem wird es Sie nicht überraschen zu erfahren, dass die Menge aller Brüche tatsächlich nicht größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen: sie bilden auch eine zählbar unendliche Menge.
Aber nicht alle Zahlen zwischen 1 und 2 sind Brüche: Einige Dezimalstellen (mit unendlich vielen Ziffern nach dem Punkt) können nicht als Brüche ausgedrückt werden. Zum Beispiel ist die Quadratwurzel von 2 eine solche Zahl. Sie wird als irrationale Zahl bezeichnet, da sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Dies wird am besten verstanden, wenn man sich eine durchgehende Linie vorstellt, die mit gleich beabstandeten natürlichen Zahlen gekennzeichnet ist: 1, 2, 3 und so weiter. Es wird beispielsweise eine unendliche Anzahl von Punkten zwischen 1 und 2 geben, wobei jeder Punkt einer Dezimalzahl entspricht. Egal wie klein ein Intervall auf dieser Linie ist und wie stark Sie es vergrößern, es wird immer noch eine unendliche Anzahl von Punkten geben, die einer unendlichen Anzahl von Dezimalstellen entsprechen.
Es stellt sich heraus, dass die Menge aller Punkte auf einer kontinuierlichen Linie eine größere Unendlichkeit als die natürlichen Zahlen ist; Mathematiker sagen, dass es eine unzählbar unendliche Anzahl von Punkten auf der Linie (und im dreidimensionalen Raum) gibt. Sie können einfach nicht jeden Punkt auf der Linie mit den natürlichen Zahlen in einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz abgleichen.
Es gibt also zwei Arten von Unendlichkeit, und es hört hier nicht auf, aber ich werde; Mir wurde nur eine begrenzte Anzahl von Wörtern für diese Spalte zugewiesen. Lassen Sie mich abschließend auf die Antwort meines Vaters über den Raum zurückkommen: Ist er unendlich? Nun, ja und nein.
Wenn es kontinuierlich ist (und einige Physiker denken, dass es nicht sein kann), dann wird es eine unzählbar unendliche Anzahl von Punkten enthalten. Aber das bedeutet nicht, dass es ewig so weitergehen muss. Wie Einstein entdeckte, kann es in sich selbst gekrümmt sein, um ein endliches Volumen zu bilden.
Dies veranlasste ihn einmal zu der Bemerkung: „Nur zwei Dinge sind unendlich, das Universum und die menschliche Dummheit, und ich bin mir nicht sicher über das erstere.“
