Spezielle Zahlen und Konzepte

Auf dieser Seite werden verschiedene Arten von Zahlen und Begriffen erläutert, die in der Mathematik verwendet werden:

• Primzahlen
• Quadrate und Quadratwurzeln
• Exponenten, Ordnungen, Indizes und Potenzen
• Faktoren und Vielfache
• Unendliche (irrationale) Zahlen
• Reale, imaginäre und komplexe Zahlen

Das Wissen über diese Konzepte hilft Ihnen bei fortgeschrittener Mathematik, von Brüchen und Dezimalstellen bis hin zu ernsthaft komplizierter Algebra.

Wie jedes andere Fach hat Mathematik bis zu einem gewissen Grad eine eigene Sprache. Diese Seite bringt Sie dem Verständnis der Sprache der Mathematik einen Schritt näher.

Primzahlen

Eine Primzahl kann nur durch sich selbst und 1 (eins) geteilt werden, um eine ganze Zahl (Ganzzahl) zu erhalten.

Ein Mathematiker mag sagen: Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur zwei ganzzahlige Teiler hat: sich selbst und einen.

Einige schnelle Fakten über Primzahlen:

• 1 ist KEINE Primzahl. Eine Primzahl muss per Definition genau zwei positive Teiler haben. 1 hat nur einen positiven Teiler (1).
• 2 ist die einzige gerade Primzahl, da alle anderen geraden Zahlen natürlich durch 2 dividieren.
• Die 1000. Primzahl ist 7.919.
• Euklid, der griechische Mathematiker, demonstrierte um 300 v. Chr., dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Primzahlen sind wichtig in Mathematik und Informatik. Für die meisten von uns beschränkt sich ihre Verwendung jedoch wahrscheinlich auf das Interesse und darauf, zu wissen, wann Sie die Grenze der Vereinfachung eines Bruchteils erreicht haben. Weitere Informationen zum Arbeiten mit Brüchen finden Sie auf unserer Seite: Brüche.

Quadrate und Quadratwurzeln

Das Quadrat einer Zahl ist die Zahl, die Sie erhalten, wenn Sie diese Zahl mit sich selbst multiplizieren. Es wird als hochgestellte 2 nach der Zahl geschrieben, auf die es zutrifft, also schreiben wir x2, wobei x eine beliebige Zahl ist.

Zum Beispiel, wenn x 5 wäre:
52 = 5 x 5 = 25.

Quadratzahlen werden sowohl in Flächenberechnungen als auch anderswo in der Mathematik verwendet.

Angenommen, Sie möchten eine 5 Meter hohe und 5 Meter breite Wand streichen. Multiplizieren Sie 5m × 5m, um 25m2 zu erhalten. Wenn dies laut gesagt würde, wäre es ‚fünfundzwanzig Meter im Quadrat‘. Sie müssten genug Farbe für 25m2 kaufen. Sie könnten sehen, dass dies auch als ’25 Quadratmeter‘ bezeichnet wird, was richtig ist. Ein 25m-Quadrat ist jedoch überhaupt nicht dasselbe – dies wäre 25m x 25m = 625m2.

Siehe unsere Seite: Fläche für mehr berechnen

Die Quadratwurzel einer Zahl ist die Zahl, die quadriert wird, um diese Zahl zu erhalten. Das Quadratwurzelsymbol ist √

Quadratwurzeln sind mit Beispielen leichter zu verstehen:

√25 = 5, dh 5 ist die Quadratwurzel von 25 seit 5 x 5 =25
√4 = 2, dh 2 ist die Quadratwurzel von 4, da 2 x 2 =4

Nicht alle Zahlen eine Quadratwurzel haben, die eine ganze Zahl ist. Zum Beispiel ist √13 3,60555.

Ordnungen, Exponenten, Indizes und Potenzen

In einer Quadratzahl ist das hochgestellte 2 die ‚Ordnung‘ von x, d.h. die Anzahl der Male x wird mit sich selbst multipliziert. Die Reihenfolge kann eine beliebige Zahl sein, positiv oder negativ.

Zum Beispiel:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
510 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 9.765.625

Ordnungen werden auch Exponenten, Indizes und Potenzen genannt. Wenn es laut gesagt wird, könnte das erste Beispiel als ‚zwei zur Potenz drei‘ bezeichnet werden und das zweite wäre ‚fünf zur Potenz zehn‘ oder ‚fünf Exponent zehn‘. Die Begriffe sind austauschbar und manchmal regional. Zum Beispiel ist der übliche Begriff in Nordamerika ‚Exponent‘, aber in Großbritannien ist es in der Regel Indizes oder Mächte.

Standardform

Aufträge werden verwendet, um sehr große und sehr kleine Zahlen mit einer Art mathematischer Abkürzung auszudrücken, die als Standardform bekannt ist. Die Standardform wird manchmal auch als wissenschaftliche Notation bezeichnet.

Standardform wird als a x 10n geschrieben.

In dieser Form ist a eine Zahl größer oder gleich 1 und kleiner als 10.

Die Ordnung n kann eine beliebige positive oder negative ganze Zahl sein und ist die Anzahl der Male, die a mit 10 multipliziert werden muss, um der sehr großen oder sehr kleinen Zahl zu entsprechen, die wir schreiben.

Zum Beispiel:

2.000.000 = 2 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 2 x 106.
5 x 10-5 = 0,00005

Die Verwendung des Standardformulars reduziert die Anzahl der zu schreibenden Ziffern. Es hilft auch, Fehler zu beseitigen – es ist nicht einfach, so viele Nullen genau zu lesen:
1,23 x 1012 = 1.230.000.000.000
4 x 10-15 = 0.000000000000004

Faktoren und Vielfache

Faktoren sind Zahlen, die eine ganze Anzahl von Malen in eine andere teilen oder ‚gehen‘.

Zum Beispiel sind 2, 3, 5 und 6 alle Faktoren von 30.

Jeder von ihnen geht eine ganze Reihe von Malen in 30. Eine andere Möglichkeit, dies in mathematischer Sprache zu beschreiben, besteht darin, zu sagen, dass 30 durch 2, 3, 5 und 6 geteilt werden kann, um ganzzahlige Antworten zu erhalten.

Multiples sind die Zahlen, die Sie erhalten, wenn Sie eine Zahl mit einer anderen multiplizieren.

4 ist beispielsweise ein Vielfaches von 2.

30 ist ein Vielfaches von 15, 6, 5, 3 und 2.

Unendliche Zahlen (irrationale Zahlen)

Der Ausdruck ‚unendliche Zahlen‘ bezieht sich nicht auf die Tatsache, dass es unendlich viele Zahlen gibt. Stattdessen bezieht es sich auf Zahlen, die selbst nie enden.

Die bekannteste unendliche Zahl ist wahrscheinlich pi, π, die 3.142 beginnt und von dort weitergeht. Nicht einmal das mächtigste Computerprogramm der Welt könnte jemals alle seine Zahlen abbilden, weil es unendlich ist.

Diese Zahlen werden auch als irrationale Zahlen bezeichnet.

Endliche Zahlen sind Zahlen, die eine endliche Anzahl von Ziffern haben. Nach einem bestimmten Punkt ist die einzige Zahl, die hinzugefügt werden kann, Null. 1, 3, 1,5 und 0,625 sind Beispiele für endliche Zahlen.

Wiederkehrende Zahlen sind eine bestimmte Form unendlicher Zahlen. Hier wiederholen sich die gleiche oder mehrere Ziffern unendlich in der Dezimalform der Zahl.

Einige Zahlen, die leicht als Brüche ausgedrückt werden können, erweisen sich als wiederkehrende Zahlen in Dezimalform.

Beispiele umfassen 1/3, was 0 ist.33333 wiederkehrend in Dezimalstellen und 1/11, was 0,090909090909 wiederkehrend ist.

Reelle, unwirkliche und komplexe Zahlen

Reelle Zahlen sind Zahlen, die tatsächlich existieren und einen physikalischen Wert haben können.

Reelle Zahlen können positiv oder negativ sein und Ganzzahlen (ganze Zahlen) oder Dezimalzahlen sein. Sie können sogar unendliche Zahlen sein, aber sie können als Zahlen geschrieben und in Ziffern ausgedrückt werden.

Imaginäre Zahlen existieren, wie der Name schon sagt, nicht wirklich, sondern sind ein mathematisches Konstrukt zur Lösung bestimmter Probleme.

Das einfachste Beispiel ist die Quadratwurzel einer Minuszahl. Wir können eine negative (negative) Zahl nur erhalten, indem wir eine negative Zahl mit einer positiven Zahl multiplizieren. Wenn Sie zwei negative Zahlen oder zwei positive Zahlen multiplizieren, erhalten Sie immer eine positive Antwort. Daraus folgt, dass die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht existieren kann.

Es kann jedoch in Mathematik! Die Quadratwurzel von minus eins erhält die Notation i. Die tatsächliche Verwendung in mathematischen Problemen der realen Welt erfordert zunächst ein wenig abstraktes Denken, Aber es ist ein sehr nützliches Konzept in einigen Anwendungen.

Komplexe Zahlen folgen aus reellen und unwirklichen Zahlen. Sie sind Zahlen, die aus einer reellen Zahl multipliziert mit einer unwirklichen oder imaginären Zahl bestehen, die normalerweise mit einem Vielfachen von i .

Nicht gerade alltägliche Konzepte?

Einige der auf dieser Seite beschriebenen Konzepte scheinen im Alltag nicht sehr nützlich zu sein. Es schadet jedoch nie, ein grundlegendes Verständnis für einige der einfacheren mathematischen Konzepte zu haben, und sie sind nicht so dunkel, wie Sie vielleicht denken. Zum Beispiel könnte es eine Überraschung sein zu wissen, dass imaginäre Zahlen in der Elektrotechnik häufig verwendet werden … und das könnte nützlich sein, wenn Sie auf einer Party mit einem Elektrotechniker sprechen…