Iteratív módszerek az Ax = b megoldására-Jacobi módszere

talán a legegyszerűbb iteratív módszer az Ax = b megoldására Jacobi módszere. Ne feledje, hogy ennek a módszernek az egyszerűsége mind jó, mind rossz: jó, mert viszonylag könnyen érthető, és így az iteratív módszerek jó első íze; rossz, mert általában nem használják a gyakorlatban (bár potenciális hasznosságát a párhuzamos számítástechnika). Ennek ellenére jó kiindulópont a hasznosabb, de bonyolultabb iteratív módszerek megismeréséhez.

adott aktuális közelítés

x(k) = (x1(k), x2(k), x3(k), …, xn(k))

X esetében Jacobi módszerének stratégiája az, hogy az első egyenletet és az X2(k), x3(k), …, xn(k) aktuális értékeit használja egy új X1(k+1) érték megtalálásához, és hasonlóan a X1(k + 1) egy új Xi (k) érték az i-edik egyenlet és a többi változó régi értékeinek felhasználásával. Vagyis adott aktuális értékek x(k) = (x1(k), x2(k), …, xn(k)), Keressen új értékeket a

X(k+1) = (x1(k+1), x2(k+1), …, xn (k+1))

a

ezt a rendszert úgy is lehet írni, mint

hogy világos legyek, az I Index azt jelenti, hogy xi(k) a

x(k) = (x1(k), x2(k),…, xi(k),…, xn(k)),

vektor i-edik eleme, a K felső index pedig az adott iterációnak felel meg (nem xi k-edik hatványának ).

ha D-T, L-T és U-t írunk az átló, a szigorú alsó háromszög és a szigorú felső háromszög, illetve az a részeire,

ezután Jacobi módszere mátrix-vektor jelöléssel írható

példa 1

alkalmazzuk Jacobi módszerét a rendszerre

.

minden lépésben, figyelembe véve az aktuális értékeket x1(k), x2(k), x3(k), megoldjuk x1(k+1), x2(k+1) és x3(k+1)

.

tehát, ha a kezdeti találgatásunk x(0) = (x1(0), x2(0), x3(0)) a nulla vektor 0 = (0,0,0) — egy általános kezdeti találgatás, hacsak nincs olyan további információnk, amely arra késztet minket, hogy válasszunk másikat — akkor megtaláljuk x(1) = (x1 (1), x2(1), x3(1) ) megoldásával

tehát x (1) = (x1 (1), x2 (1), x3(1)) = (3/4, 9/6, -6/7) ≈ (0.750, 1.500, -0.857). Megismételjük ezt a folyamatot, hogy megtaláljuk az egyre jobb közelítések sorozatát x(0), x(1), x(2),…. Az eredményeket az alábbi táblázatban mutatjuk be, az összes értéket 3 tizedesjegyre kerekítve.

minket az e hiba érdekel minden iterációnál a valódi x megoldás és az X(k) közelítés között: e(k) = x − x(k) . Nyilvánvaló, hogy általában nem ismerjük az igazi megoldást x. az iteratív módszer viselkedésének jobb megértése érdekében azonban felvilágosító a módszer használata egy olyan rendszer megoldására Ax = b amelyre ismerjük az igazi megoldást, és elemezzük, hogy a közelítések milyen gyorsan konvergálnak az igazi megoldáshoz. Ebben a példában a valódi megoldás x = (1, 2, -1).

a ||x|| vektor normája megmondja, hogy mekkora a vektor egésze (szemben a vektor egyes elemeinek nagyságával). A lineáris algebrában leggyakrabban használt vektor norma az l2 norma:

például, ha x = (1, 2, -1), akkor

ebben a modulban mindig az l2 normát fogjuk használni (beleértve a mátrix normákat is a következő oktatóanyagokban), így a / / / / mindig azt jelenti|| ||2.

céljainkhoz megfigyeljük, hogy ||x|| pontosan akkor lesz kicsi, ha az x1, x2,…, xn elemek mindegyike x = (x1, x2,…, xn ) kicsi. Az alábbi táblázatban a hiba normája fokozatosan kisebb lesz, mivel a hiba mind a három elemben x1, x2, x3 kisebb lesz, vagy más szavakkal, mivel a közelítések fokozatosan javulnak.