おそらく、Ax=bを解くための最も簡単な反復法はJacobiの方法です。 この方法の単純さは良いことと悪いことの両方であることに注意してください：良い、それは比較的理解しやすいので、反復法の良い最初の味です。 それでも、より有用ではあるがより複雑な反復的な方法について学ぶための良い出発点です。現在の近似
x(k)=(x1(k),x2(k),x3(k),…,xn(k))
Xに対して、ヤコビ法の戦略は、最初の方程式とx2(k),x3(k),…,xn(k)の現在の値を使用して新しい値x1(k+1),x2(k),…,xn(k)をそして、同様に、i番目の方程式と他の変数の古い値を使用して新しい値xi（k）を見つけることができます。 つまり、現在の値x(k)=(x1(k),x2(k),…,xn(k))が与えられたとき、
x(k+1)=(x1(k+1),x2(k+1),…,xn(k))を解くことによって新しい値を見つけます+1))
で
このシステムは、次のように書くこともできます
明確にするために、下付き文字iは、xi（k）がベクトル
x（k）=（x1（k）、x2（k）、…、xi（k）、…、xn（k））、
のi番目の要素であり、上付き文字kは特定の反復に対応します（xiのk乗
対角に対してD、L、Uと書くと、それぞれ厳密な下三角と厳密な上三角とAの部分,
次に、ヤコビの方法は、行列-ベクトル表記で次のように書くことができます
例1
ヤコビの方法をシステムに適用してみましょう
.各ステップで、現在の値x1（k）、x2（k）、x3（k）が与えられたとき、x1（k+1）、x2（k+1）、およびx3（k+1）を次のように解きます。 
.したがって、最初の推測x(0)=(x1(0),x2(0),x3(0))がゼロベクトル0=(0,0,0)である場合、他のものを選択するための追加情報がない限り、一般的な初期推測です。x(1)=(x1(1),x2(1),x3(1))を解くことによってx(1)=(x1(1),x2(1),x3(1))を見つけることができます。 
したがって、x（1）=（x1（1）、x2（1）、x3）=（x1（1）、x2（1）、x3）=（x3）(1)) = (3/4, 9/6, -6/7) ≈ (0.750, 1.500, -0.857). このプロセスを反復して、より良い近似x（0）、x（1）、x（2）、…のシーケンスを見つけます。 結果を下の表に示し、すべての値を小数点以下3桁に四捨五入します。
真の解xと近似x(k):e(k)=x−x(k)の間の各反復における誤差eに関心があります。 しかし、反復法の動作をよりよく理解するためには、この方法を使用して真の解を知っているシステムAx=bを解き、近似が真の解にどれだけ迅速に収束しているかを分析することが啓発されています。 この例では、真の解はx=(1,2,-1)です。
ベクトル||x||のノルムは、ベクトルが全体としてどれくらい大きいかを示します（ベクトルの各要素の大きさとは対照的に）。 線形代数で最も一般的に使用されるベクトルノルムは、l2ノルムです:
たとえば、x=(1,2,-1)の場合、
このモジュールでは、常にl2ノルム（以降のチュートリアルでは行列ノルムを含む）を使用するので、////は常に意味します|| ||2…..
私たちの目的のために、x=(x1,x2,…,xn)の各要素x1,x2,…,xnが小さいとき、||x||は正確に小さくなることを観察します。 次の表では、3つの要素x1、x2、x3のそれぞれの誤差が小さくなるにつれて、誤差のノルムは徐々に小さくなり、つまり、近似が徐々に良くなるにつれて、誤差のノルムは徐々に小さくなります。
| k | x(k) | x(k)−x(k-1) | e(k)=x−x(k) | |/e(k)|| | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | -0.000 | -0.000 | -0.000 | − | − | − | -0.000 | -0.000 | -1.000 | 2.449 |
| 1 | 0.750 | 1.500 | -0.857 | -0.000 | -0.000 | -0.857 | 0.250 | 0.500 | -0.143 | 0.557 |
| 2 | 0.911 | 1.893 | -0.964 | 0.161 | 0.393 | -0.107 | 0.089 | 0.107 | -0.036 | 0.144 |
| 3 | 0.982 | 1.964 | -0.997 | 0.071 | 0.071 | -0.033 | 0.018 | 0.036 | -0.003 | 0.040 |
| 4 | 0.992 | 1.994 | -0.997 | 0.010 | 0.029 | 0.000 | 0.008 | 0.006 | -0.003 | 0.011 |
| 5 | 0.999 | 1.997 | -1.000 | 0.007 | 0.003 | -0.003 | 0.001 | 0.003 | 0.000 | 0.003 |
| 6 | 0.999 | 2.000 | -1.000 | 0.000 | 0.003 | 0.001 | 0.000 | 0.001 | 0.000 | 0.001 |
| 7 | 1.000 | 2.000 | -1.000 | 0.001 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
| 8 | 1.000 | 2.000 | -1.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |