kevés szám gyakorolt nagyobb elbűvölést és zavart, mint a végtelen. Emlékszem, hogy fiatalon megkérdeztem apámat, hogy az űr örökké tart-e. Azt válaszolta, hogy ennek így kell lennie, mert bármilyen messzire utaztál az űrbe, mindig kinyújthatod a karodat egy ürességbe.
ugyanez a helyzet az idővel is: vajon az örökkévalóságig tart-e, és vajon végtelenül messzire nyúlik vissza a múltba?
filozófusok és tudósok küzdöttek ezekkel a kérdésekkel az idők folyamán, de a végtelenség mint fogalom legtöbbször nem volt jól definiálva.
mindez megváltozott a 19.században, amikor a matematikusok megtanulták, hogyan kell következetesen manipulálni a végtelent számként. De ezek a szabályok sok meglepetést okoznak.
Tekintsük a természetes számokat-1, 2, 3 stb. Korlátozás nélkül mennek tovább. A természetes számok végtelenek. Most kérdezd meg, vannak-e több természetes számok, mint páros számok? Végül is a páros számok – 2, 4, 6 stb. – a természetes számok közé tartoznak, páratlan számokkal tarkítva.
csábító azt mondani, hogy kétszer annyi természetes szám van, mint páros szám. De ez nem helyes.
amikor azt mondjuk, hogy két objektumkészlet egyenlő, akkor egy-egy alapon megfeleltetjük őket. Például, ha azt állítom, hogy ugyanannyi ujjam van, mint a lábujjak, úgy értem, hogy minden ujjnak egy lábujja felel meg, nem maradt lábujj, és egyetlen ujj sem maradt páratlanul a célnál.
most tegye ugyanezt a természetes számok és páros számok esetében is: párosítsa az 1-et a 2-vel, a 2-et a 4-gyel, a 3-at a 6-tal és így tovább. Minden természetes számhoz pontosan egy páros szám lesz. Az a tény, hogy minden sorozat végtelen halmazt alkot, azt jelenti, hogy a számkészletek azonos méretűek, annak ellenére, hogy az egyik halmaz a másikban található!
ez az eredmény megadja a végtelenség definícióját: a tárgyak végtelen halmaza olyan nagy, hogy nem lesz nagyobb, ha hozzáadja vagy megduplázza; nem lesz kisebb, ha kivonja vagy felére csökkenti.
ez egy paradoxon, amelyet David Hilbert német matematikus tett híressé (lásd az alábbi videót), aki 1924-ben tartott előadásában végtelen számú szobával rendelkező szállodát tervezett. Még akkor is, ha a szálloda tele van, még mindig új vendégeket tud befogadni, ha minden vendég elhagyja a szobáját, és mozog egyet, így felszabadítva az 1-es szobát. Ezt végtelen számú alkalommal lehet megtenni.
ez egy paradoxon, amelyet a német David Hilbert tett híressé 1924-ben.
ennek ellenére helytelen lenne a természetes számok végtelenségét – amelyet a matematikusok ‘megszámlálható’ végtelen halmaznak neveznek, mert a tagokat egyenként meg lehet számolni – az elképzelhető legnagyobb számnak tekinteni.
1 és 2 között például végtelen számú szám található, például 3/5 és 7917/384431. Nincs korlátozva, hogy hány számjegyet adhatunk hozzá a számlálóhoz és a nevezőhöz, hogy több törtet kapjunk. Ennek ellenére nem fog meglepni, ha megtudja, hogy az összes frakció halmaza valójában nem nagyobb, mint a természetes számok halmaza: megszámlálhatatlanul végtelen halmazt alkotnak.
de nem minden 1 és 2 közötti szám tört: néhány tizedesjegy (a pont után végtelen számú számjeggyel) nem fejezhető ki törtként. Például a 2 négyzetgyöke egy ilyen szám. Irracionális számként ismert, mert nem fejezhető ki két egész szám arányában. Ezt legjobban egy folytonos vonal elképzelésével lehet megérteni, amelyet egyenlő távolságra elhelyezkedő természetes számok jelölnek: 1, 2, 3 stb. Végtelen számú pont lesz 1 és 2 között, például minden pont egy tizedes számnak felel meg. Nem számít, milyen kicsi az intervallum ezen a vonalon, és mennyire nagyítja fel, akkor is végtelen számú pont lesz, amely végtelen számú tizedesjegynek felel meg.
kiderült, hogy egy folytonos vonal összes pontjának halmaza nagyobb végtelen, mint a természetes számok; a matematikusok szerint megszámlálhatatlanul végtelen számú pont van az vonalon (és háromdimenziós térben). Egyszerűen nem egyeztethető össze a vonal minden pontjával a természetes számokkal egy-egy levelezésben.
tehát kétféle végtelen létezik, és ez nem áll meg itt, de én; Én már kiosztott csak véges számú szó ebben az oszlopban. Hadd fejezzem be azzal, hogy visszatérek apám válaszához a térről:végtelen? Nos, igen és nem.
ha folytonos (és egyes fizikusok szerint nem), akkor megszámlálhatatlanul végtelen számú pontot fog tartalmazni. De ez nem jelenti azt, hogy örökké kell folytatódnia. Ahogy Einstein felfedezte, lehet, hogy önmagában görbül, hogy véges térfogatot képezzen.
emiatt egyszer megjegyezte: “csak két dolog végtelen, az univerzum és az emberi butaság, és az előbbiben nem vagyok biztos.”
