Pochi numeri hanno esercitato più fascino e confusione dell’infinito. Ricordo di aver chiesto a mio padre in giovane età se lo spazio è andato avanti per sempre. Egli rispose che questo deve essere così perché, per quanto lontano si è viaggiato nello spazio, si potrebbe sempre allungare il braccio in un vuoto al di là.
Stessa cosa con il tempo: andrà avanti per tutta l’eternità, e si protende infinitamente lontano nel passato?
Filosofi e scienziati hanno lottato con queste domande nel corso dei secoli, ma per la maggior parte di quel tempo ‘infinito’ come concetto non era ben definito.
Tutto ciò è cambiato nel 19 ° secolo, quando i matematici hanno imparato a manipolare l’infinito come un numero in modo coerente. Ma queste regole suscitano molte sorprese.
Considera i numeri naturali-1, 2, 3 e così via. Vanno avanti senza limiti. Ci sono un’infinità di numeri naturali. Ora chiedi, ci sono più numeri naturali che numeri pari? Dopo tutto, i numeri pari-2, 4, 6 e così via – sono contenuti all’interno dei numeri naturali, intervallati da quelli dispari.
Si è tentati di dire che ci sono il doppio dei numeri naturali rispetto ai numeri pari. Ma è sbagliato.
Quando diciamo che due insiemi di oggetti sono uguali, li mettiamo in corrispondenza uno per uno. Ad esempio, se sostengo di avere lo stesso numero di dita dei piedi, intendo che per ogni dito corrisponde un dito, senza dita rimaste e senza dita rimaste ineguagliate al traguardo.
Ora fai lo stesso per i numeri naturali e i numeri pari: accoppia 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6 e così via. Ci sarà esattamente un numero pari per ogni numero naturale. Il fatto che ogni serie formi un insieme infinito significa che gli insiemi di numeri hanno la stessa dimensione, anche se un insieme è contenuto nell’altro!
Questo risultato dà una definizione di infinito: un insieme infinito di oggetti è così grande che non è reso più grande aggiungendolo o raddoppiandolo; né è reso più piccolo sottraendolo o dimezzandolo.
È un paradosso reso celebre dal matematico tedesco David Hilbert (vedi il video qui sotto) che, in una conferenza tenuta nel 1924, prevedeva un albergo con un numero infinito di camere. Anche quando l’hotel è pieno, ha sottolineato, può ancora ospitare nuovi ospiti se ogni ospite libera la propria stanza e ne sposta una, liberando così la stanza numero 1. Questo può essere fatto un numero infinito di volte.
È un paradosso reso famoso dal tedesco David Hilbert nel 1924.
Nonostante ciò, sarebbe sbagliato pensare all’infinito dei numeri naturali – che i matematici chiamano un insieme infinito ‘numerabile’, perché puoi contare i membri uno per uno – come il più grande numero immaginabile.
Tra 1 e 2, ad esempio, si trovano un numero infinito di numeri, come 3/5 e 7917/384431. Non c’è limite a quante cifre possiamo aggiungere al numeratore e al denominatore per fare più frazioni. Tuttavia, non ti sorprenderà apprendere che l’insieme di tutte le frazioni non è in realtà più grande dell’insieme dei numeri naturali: formano anche un insieme numerabilmente infinito.
Ma non tutti i numeri tra 1 e 2 sono frazioni: alcuni decimali (con un numero infinito di cifre dopo il punto) non possono essere espressi come frazioni. Ad esempio, la radice quadrata di 2 è uno di questi numeri. È noto come un numero ‘irrazionale’ perché non può essere espresso come il rapporto di due numeri interi. Ciò è meglio compreso immaginando una linea continua, etichettata da numeri naturali equidistanti: 1, 2, 3 e così via. Ci sarà un numero infinito di punti tra 1 e 2, ad esempio, con ogni punto corrispondente a un numero decimale. Non importa quanto piccolo sia un intervallo su quella linea e quanto lo ingrandisci, ci sarà ancora un numero infinito di punti corrispondente a un numero infinito di decimali.
Si scopre che l’insieme di tutti i punti su una linea continua è un infinito più grande dei numeri naturali; i matematici dicono che c’è un numero infinitamente infinito di punti sulla linea (e nello spazio tridimensionale). Semplicemente non è possibile abbinare ogni punto sulla linea con i numeri naturali in una corrispondenza uno a uno.
Quindi ci sono due tipi di infinito, e non si ferma qui, ma lo farò; Mi è stato assegnato solo un numero finito di parole per questa colonna. Permettetemi di concludere tornando alla risposta di mio padre sullo spazio: è infinito? Beh, sì e no.
Se è continuo (e alcuni fisici pensano che potrebbe non esserlo), conterrà un numero infinitamente infinito di punti. Ma questo non significa che deve andare avanti per sempre. Come Einstein scoprì, potrebbe essere curvato su se stesso per formare un volume finito.
Questo lo ha portato a una volta osservazione: “Solo due cose sono infinite, l’universo e la stupidità umana, e non sono sicuro del primo.”
