Il lavoro di Apollonio di Perga esteso il campo delle costruzioni geometriche ben oltre la gamma negli elementi. Ad esempio, Euclide nel Libro III mostra come disegnare un cerchio in modo da passare attraverso tre punti dati o essere tangente a tre linee date; Apollonio (in un’opera chiamata Tangenze, che non sopravvive più) ha trovato il cerchio tangente a tre cerchi dati, o tangente a qualsiasi combinazione di tre punti, linee e cerchi. (La costruzione della tangenza a tre cerchi, uno dei problemi geometrici più studiati, ha attirato più di 100 diverse soluzioni nel periodo moderno.
Apollonio è meglio conosciuto per le sue Coniche, un trattato in otto libri (Libri I–IV sopravvivono in greco, V-VII in una traduzione araba medievale; Libro VIII è perduto). Le sezioni coniche sono le curve formate quando un piano interseca la superficie di un cono (o doppio cono). Si presume che la superficie del cono sia generata dalla rotazione di una linea attraverso un punto fisso attorno alla circonferenza di un cerchio che si trova in un piano che non contiene quel punto. (Il punto fisso è il vertice del cono e la linea ruotata il suo generatore.) Ci sono tre tipi fondamentali: se il piano di taglio è parallelo a una delle posizioni del generatore, produce una parabola; se incontra il cono solo su un lato del vertice, produce un’ellisse (di cui il cerchio è un caso speciale); ma se incontra entrambe le parti del cono, produce un’iperbole. Apollonio espone in dettaglio le proprietà di queste curve. Egli dimostra, per esempio, che, dati i segmenti a e b la parabola corrisponde alla relazione (in notazione moderna) y2 = ax, l’ellisse a y2 = ax − ax 2/b, e l’iperbole di y2 = ax + ax 2/b.
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Il trattato di Apollonio sulle coniche in parte consolidò più di un secolo di lavoro prima di lui e in parte presentò nuove scoperte. Come accennato in precedenza, Euclide aveva già pubblicato un libro di testo sulle coniche, mentre anche prima Menaechmus aveva svolto un ruolo nel loro studio. I nomi che Apollonio ha scelto per le curve (i termini possono essere originali con lui) indicano ancora una connessione precedente. Nel pre-geometria Euclidea parabolē riferito ad una determinata operazione, l ‘ “applicazione” di una determinata area di una determinata linea, in cui la linea x è cercato in modo tale che ax = b2 (dove a e b sono linee di dato); in alternativa, x può essere richiesta tale che x(a + x) = b2, o x(a − x) = b2, e in questi casi l’applicazione è detto di essere in “eccesso” (hyperbolē) o “difetto” (elleipsis) dalla quantità di un quadrato di figura (vale a dire, x2). Queste costruzioni, che equivalgono a una soluzione geometrica del quadratico generale, appaiono nei libri I, II e VI degli Elementi e possono essere associate in qualche forma ai Pitagorici del v secolo.
Apollonius ha presentato un’indagine completa delle proprietà di queste curve. Un esempio degli argomenti trattati include quanto segue: le relazioni soddisfatte dai diametri e dalle tangenti delle coniche (Libro I); come le iperbole sono correlate ai loro “asintoti”, le linee che si avvicinano senza mai incontrarsi (Libro II); come disegnare le tangenti alle coniche date (Libro II); relazioni di accordi che si intersecano nelle coniche (Libro III); la determinazione del numero di modi in cui le coniche possono intersecarsi (Libro IV); come disegnare linee “normali” alle coniche (cioè linee che le incontrano ad angolo retto; Libro V); e la congruenza e la somiglianza delle coniche (Libro VI).
Con la dichiarazione esplicita di Apollonio, i suoi risultati sono di uso principale come metodi per la soluzione di problemi geometrici tramite coniche. Mentre in realtà ha risolto solo una serie limitata di problemi, le soluzioni di molti altri possono essere dedotte dai suoi teoremi. Ad esempio, i teoremi del Libro III consentono la determinazione di coniche che passano attraverso punti dati o sono tangenti a linee date. In un altro lavoro (ora perduto) Apollonio risolto il problema della duplicazione cubo da coniche (una soluzione legata in qualche modo a quella data da Menaecmo); inoltre, una soluzione del problema della trisezione angolo dato da Pappo potrebbe essere venuto da Apollonio o stati influenzati dal suo lavoro.
Con l’avanzamento del campo dei problemi geometrici da parte di Euclide, Apollonio e dei loro seguaci, divenne opportuno introdurre uno schema di classificazione: quei problemi risolvibili per mezzo di coniche sono stati chiamati solidi, mentre quelli risolvibili per mezzo di cerchi e linee solo (come assunto in elementi di Euclide) sono stati chiamati planare. Quindi, si può raddoppiare il quadrato con mezzi planari (come in Elements, Libro II, proposizione 14), ma non si può raddoppiare il cubo in questo modo, sebbene sia possibile una costruzione solida (come indicato sopra). Allo stesso modo, la bisezione di qualsiasi angolo è una costruzione planare (come mostrato in Elements, Book I, proposition 9), ma la trisezione generale dell’angolo è del tipo solido. Non è noto quando la classificazione è stata introdotta per la prima volta o quando i metodi planari sono stati assegnati lo status canonico rispetto agli altri, ma sembra plausibile datare questo vicino Apollonio del tempo. Infatti, gran parte del suo lavoro—libri come le tangenze, i Vergings (o Inclinazioni), e il Loci piano, ora perduto ma ampiamente descritto da Pappus—accende il progetto di stabilire il dominio delle costruzioni planari in relazione a soluzioni con altri mezzi. Sulla base dei principi della geometria greca, non si può dimostrare, tuttavia, che è impossibile effettuare da planare significa certe costruzioni solide (come la duplicazione del cubo e trisezione angolo). Questi risultati sono stati stabiliti solo da algebristi nel 19 ° secolo (in particolare dal matematico francese Pierre Laurent Wantzel nel 1837).
Una terza classe di problemi, chiamati lineari, abbracciava quelli risolvibili per mezzo di curve diverse dal cerchio e dalle coniche (in greco la parola per “linea”, grammē, si riferisce a tutte le linee, sia curve che rette). Ad esempio, un gruppo di curve, i conchoidi (dalla parola greca per “conchiglia”), si formano segnando una certa lunghezza su un righello e quindi ruotandolo attorno a un punto fisso in modo tale che uno dei punti segnati rimanga su una determinata linea; l’altro punto segnato traccia un conchoide. Queste curve possono essere utilizzate ovunque una soluzione implichi il posizionamento di un righello marcato rispetto a una data linea (in greco tali costruzioni sono chiamate neuses, o “vergings” di una linea a un dato punto). Ad esempio, qualsiasi angolo acuto (figurato come l’angolo tra un lato e la diagonale di un rettangolo) può essere trisettato prendendo una lunghezza pari al doppio della diagonale e spostandola fino a quando non viene inserita tra gli altri due lati del rettangolo. Se invece viene introdotto il conchoid appropriato rispetto a uno di questi lati, la posizione richiesta della linea può essere determinata senza tentativi ed errori di un righello in movimento. Poiché la stessa costruzione può essere effettuata per mezzo di un’iperbole, tuttavia, il problema non è lineare ma solido. Tali usi dei conchoids sono stati presentati da Nicomede (medio o tardo 3 ° secolo ac), e la loro sostituzione con costruzioni solide equivalenti sembra essere venuto subito dopo, forse da Apollonio o dei suoi associati.
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Alcune delle curve utilizzate per la risoluzione dei problemi non sono così riducibili. Ad esempio, la spirale Archimedea accoppia il movimento uniforme di un punto su un mezzo raggio con la rotazione uniforme del raggio attorno a un punto fisso alla sua estremità (vedi Barra laterale: Quadratrix di Ippia). Tali curve hanno il loro interesse principale come mezzi per quadrare il cerchio e trisecting l’angolo.