無限大よりも魅力的で混乱している数はほとんどありません。 私は宇宙が永遠に続いたかどうかを若い頃に父に尋ねたことを覚えています。 彼はこれがそうでなければならないと答えた、どんなに遠くまであなたが宇宙に旅したとしても、あなたはいつもあなたの腕を越えて空虚に引き伸ばすことができたからです。
時間と同じこと：それは永遠に続くのだろうか、そしてそれは無限に遠くまで過去に戻って伸びるのだろうか？
哲学者や科学者は、長年にわたってこれらの疑問に取り組んできましたが、そのほとんどの時間、概念としての”無限”は明確に定義されていませんでした。
数学者が無限を一貫した方法で数値として操作する方法を学んだ19世紀にすべてが変わりました。 しかし、これらのルールは、多くの驚きを春。
1、2、3などの自然数を考えてみましょう。 彼らは制限なしで行く。 自然数の無限大があります。 今尋ねる、偶数よりも自然数がありますか？ 結局のところ、偶数–2、4、6など–は自然数の中に含まれており、奇数が散在しています。
偶数の2倍の自然数があると言うのは魅力的です。 しかし、それは間違っています。
二つのオブジェクトのセットが等しいと言うとき、それらを一つずつ対応させます。 例えば、私がつま先と同じ数の指を持っていると主張するならば、私は1本の指ごとに1本のつま先に対応し、つま先が残っておらず、指が最後に無
ここで、自然数と偶数についても同じことを行います：1と2、2と4、3と6などをペアにします。 すべての自然数には正確に1つの偶数があります。 各シリーズが無限集合を形成するという事実は、1つのセットが他のセットに含まれていても、数のセットが同じサイズであることを意味します！
この結果は無限大の定義を与える：オブジェクトの無限のセットは、それに追加または倍増することによって任意の大きく作られていないので、そ
これは、1924年に行われた講義で、無限の部屋を持つホテルを想定したドイツの数学者David Hilbert（下のビデオを参照）によって有名になったパラドックスです。 ホテルがいっぱいになっても、すべてのゲストが部屋を空けて移動すると、新しいゲストを収容することができ、部屋番号1を解放すると指摘した。 これは無限回行うことができます。
それは1924年にドイツのDavid Hilbertによって有名になったパラドックスです。
これにもかかわらず、自然数の無限大を考えるのは間違っているでしょう–数学者は、メンバーを一つずつ数えることができるので、”可算”無限集合と呼びます–考えられる最大の数と考えてください。
1と2の間には、例えば、3/5や7917/384431のような無限の数の数があります。 我々はより多くの分数を作るために分子と分母に追加することができますどのように多くの桁に制限はありません。 それにもかかわらず、すべての分数の集合が実際には自然数の集合よりも大きくないことを学ぶことはあなたを驚かせることはありません: それらは数え切れないほど無限の集合を形成する。
しかし、1と2の間のすべての数字が分数であるわけではありません：いくつかの小数（ポイントの後に無限の桁数を持つ）は分数として表現できません。 例えば、2の平方根はそのような数の1つです。 それは2つの整数の比として表現することができないので、それは「不合理な」数として知られています。 これは、等間隔の自然数でラベル付けされた連続線を想定することによって最もよく理解されます：1、2、3など。 たとえば、1と2の間には無限の数のポイントがあり、各ポイントは10進数に対応します。 その行の間隔がどれほど小さくても、それをどれだけ拡大しても、無限の小数点以下の数に対応する無限の数のポイントが存在します。
連続線上のすべての点の集合は自然数よりも大きな無限大であることが判明しました;数学者は、線上（および三次元空間内）の点の無限大の数があ あなたは単に一対一の対応で自然数とライン上の各点を一致させることはできません。
だから無限に二つのタイプがあり、それはそこに停止しませんが、私はします; この列には有限個の単語しか割り当てられていません。 私は宇宙についての私の父の答えに戻ることによって終了してみましょう：それは無限ですか？ まあ、はいといいえ。
それが連続的であれば（そしていくつかの物理学者はそうではないかもしれないと思う）、それは数え切れないほど無限の数の点を含むでしょう。 しかし、それはそれが永遠に続く必要があるという意味ではありません。 アインシュタインが発見したように、それは有限の体積を形成するためにそれ自体に湾曲することができます。
これは彼にかつての発言を導いた：”二つのことだけが無限であり、宇宙と人間の愚かさであり、私は前者についてはわかりません。”
