Apollonius

het werk van Apollonius van Perga breidde het gebied van meetkundige constructies uit tot ver buiten het bereik van de elementen. Bijvoorbeeld, Euclides in Boek III laat zien hoe een cirkel te tekenen om door drie gegeven punten te gaan of te raken aan drie gegeven lijnen; Apollonius (in een werk genaamd raaklijnen, die niet langer overleeft) vond de cirkel raaklijn aan drie gegeven cirkels, of raaklijn aan een combinatie van drie punten, lijnen en cirkels. (De drie-cirkel tangency constructie, een van de meest uitgebreid bestudeerde geometrische problemen, heeft aangetrokken meer dan 100 verschillende oplossingen in de moderne periode.)

Apollonius is vooral bekend door zijn kegelsneden, een verhandeling in acht boeken (boeken I–IV overleven in het Grieks, V–VII in een middeleeuwse Arabische vertaling; Boek VIII is verloren). De kegelsneden zijn de krommen die worden gevormd wanneer een vlak het oppervlak van een kegel (of dubbele kegel) snijdt. Aangenomen wordt dat het oppervlak van de kegel wordt gegenereerd door de rotatie van een lijn door een vast punt rond de omtrek van een cirkel die zich in een vlak bevindt dat dat punt niet bevat. (Het vaste punt is de top van de kegel, en de geroteerde lijn zijn generator. Er zijn drie basistypen: als het snijvlak evenwijdig is aan een van de posities van de generator, produceert het een parabool; als het de kegel slechts aan één kant van de top ontmoet, produceert het een ellips (waarvan de cirkel een speciaal geval is); maar als het beide delen van de kegel ontmoet, produceert het een hyperbool. Apollonius beschrijft in detail de eigenschappen van deze krommen. Hij toont bijvoorbeeld aan dat voor bepaalde lijnsegmenten a en b de parabool overeenkomt met de relatie (in moderne notatie) y2 = ax, de ellips tot y2 = ax-ax2 / b, en de hyperbool tot y2 = ax + ax2 / b.

Apollonius ‘ verhandeling over kegelsneden consolideerde gedeeltelijk meer dan een eeuw werk voor hem en presenteerde gedeeltelijk nieuwe bevindingen van zijn eigen. Zoals eerder vermeld, had Euclides al een leerboek over de kegelsneden uitgegeven, terwijl nog eerder Menaechmus een rol had gespeeld in hun studie. De namen die Apollonius koos voor de krommen (de termen kunnen bij hem origineel zijn) wijzen nog op een eerdere connectie. In de pre-Euclidische meetkunde verwijst parabolē naar een specifieke bewerking, de ” toepassing “van een bepaald gebied op een bepaalde lijn, waarin de lijn x zodanig wordt gezocht dat AX = b2 (waarbij A en b lijnen worden gegeven); als alternatief kan x zodanig worden gezocht dat x(A + x) = b2, of x(A − x) = b2, en in deze gevallen wordt gezegd dat de toepassing in” overmaat “(hyperbolē) of” defect ” (elleipsis) is door de hoeveelheid van een vierkant getal (namelijk x2). Deze constructies, die neerkomen op een geometrische oplossing van de Algemene kwadratische, verschijnen in de boeken I, II en VI van de elementen en kunnen op een of andere manier worden geassocieerd met de 5de-eeuwse pythagoreeërs.Apollonius presenteerde een uitgebreid overzicht van de eigenschappen van deze krommen. Een voorbeeld van de onderwerpen die hij behandelde omvat de volgende: de relaties tevreden door de diameters en raaklijnen van kegelsneden( Boek I); hoe hyperbolas zijn gerelateerd aan hun “asymptoten,” de lijnen die ze benaderen zonder ooit te ontmoeten (Boek II); hoe raaklijnen te trekken aan gegeven kegelsneden (Boek II); relaties van akkoorden die in kegelsneden snijden (Boek III); de bepaling van het aantal manieren waarop kegelsneden kunnen snijden (Boek IV); hoe “normale” lijnen naar kegelsneden te trekken (dat wil zeggen lijnen die ze loodrecht ontmoeten; Boek V); en de congruentie en gelijkenis van kegelsneden (boek VI).Volgens Apollonius ‘ expliciete verklaring zijn zijn resultaten van primair gebruik als methoden voor de oplossing van meetkundige problemen via kegelsneden. Hoewel hij eigenlijk slechts een beperkt aantal problemen oploste, kunnen de oplossingen van vele anderen worden afgeleid uit zijn stellingen. Bijvoorbeeld, de stellingen van Boek III staan de bepaling toe van kegelsneden die door bepaalde punten gaan of raaklijnig zijn aan bepaalde lijnen. In een ander werk (dat nu verloren is gegaan) loste Apollonius het probleem van kubusduplicatie op door kegelsneden (een oplossing die op een of andere manier gerelateerd is aan die gegeven door Menaechmus); verder kan een oplossing van het probleem van hoektrisectie gegeven door Pappus afkomstig zijn van Apollonius of beïnvloed zijn door zijn werk.

met de vooruitgang op het gebied van geometrische problemen door Euclides, Apollonius en hun volgelingen, werd het passend om een classificatieschema in te voeren: die problemen die oplosbaar zijn door middel van kegelsneden werden vast genoemd, terwijl die oplosbaar door middel van cirkels en lijnen alleen (zoals aangenomen in Euclides ‘ elementen) planair werden genoemd. Zo kan men het vierkant met vlakke middelen verdubbelen (zoals in Elements, boek II, stelling 14), maar men kan de kubus niet op zo ‘ n manier verdubbelen, hoewel een solide constructie mogelijk is (zoals hierboven gegeven). Evenzo is de doorsnede van een hoek een vlakke constructie( zoals getoond in Elements, boek I, stelling 9), maar de Algemene doorsnede van de hoek is van het vaste type. Het is niet bekend wanneer de classificatie voor het eerst werd ingevoerd of wanneer de planaire methoden canonieke status kregen ten opzichte van de andere, maar het lijkt aannemelijk om dit rond Apollonius ‘ tijd te dateren. Inderdaad, veel van zijn werk—boeken als de Rangencies, de vergingen (of neigingen), en de vlakke Loci, nu verloren maar ruimschoots beschreven door Pappus—draait op het project van het bepalen van het domein van vlakke constructies in relatie tot oplossingen op andere manieren. Op basis van de principes van de Griekse meetkunde, kan echter niet worden aangetoond dat het onmogelijk is om door middel van vlakke middelen bepaalde vaste constructies (zoals de kubus duplicatie en hoek trisectie) uit te voeren. Deze resultaten werden alleen vastgesteld door algebraïsten in de 19e eeuw (met name door de Franse wiskundige Pierre Laurent Wantzel in 1837).

een derde klasse van problemen, genaamd lineair, omvatte die oplosbaar zijn door middel van krommen anders dan de cirkel en de kegelsneden (in het Grieks verwijst het woord voor “lijn,” grammē, naar alle lijnen, gebogen of recht). Bijvoorbeeld, een groep krommen, de conchoïden (van het Griekse woord voor “schelp”), worden gevormd door het aftekenen van een bepaalde lengte op een liniaal en dan draaien rond een vast punt op een zodanige manier dat een van de gemarkeerde punten blijft op een bepaalde lijn; de andere gemarkeerde punt sporen uit een conchoïde. Deze krommen kunnen worden gebruikt wanneer een oplossing de positionering van een gemarkeerde liniaal ten opzichte van een bepaalde lijn omvat (in het Grieks worden dergelijke constructies neuses of “vergingen” van een lijn tot een bepaald punt genoemd). Bijvoorbeeld, elke scherpe hoek (bedacht als de hoek tussen een zijde en de diagonaal van een rechthoek) kan worden getrisecteerd door een lengte gelijk aan tweemaal de diagonaal te nemen en deze over te bewegen tot het komt om tussen twee andere zijden van de rechthoek te worden ingevoegd. Als in plaats daarvan de juiste conchoïde ten opzichte van een van deze zijden wordt ingevoerd, kan de vereiste positie van de lijn worden bepaald zonder de vallen en opstaan van een bewegende liniaal. Omdat dezelfde constructie echter door middel van een hyperbool tot stand kan worden gebracht, is het probleem niet lineair, maar solide. Dergelijke toepassingen van de conchoïden werden gepresenteerd door Nicomedes (midden of eind 3e eeuw v.Chr.), en hun vervanging door gelijkwaardige vaste constructies lijkt kort daarna te zijn gekomen, misschien door Apollonius of zijn metgezellen.

sommige van de curves die worden gebruikt voor het oplossen van problemen zijn niet zo reduceerbaar. De Archimedische spiraal koppelt bijvoorbeeld een uniforme beweging van een punt op een halve straal met een uniforme rotatie van de straal rond een vast punt aan het einde (zie zijbalk: Quadratrix van Hippias). Dergelijke krommen hebben hun belangrijkste belang als middel voor squaring de cirkel en trisecting de hoek.