weinig getallen hebben meer fascinatie en verwarring uitgeoefend dan oneindigheid. Ik kan me herinneren dat ik mijn vader vroeg op jonge leeftijd of de ruimte eeuwig doorging. Hij antwoordde dat dit zo moet zijn omdat, hoe ver je ook de ruimte in reisde, je altijd je arm kon uitstrekken in een leegte daarachter.
hetzelfde met de tijd: zal het eeuwig duren en strekt het zich oneindig ver terug in het verleden?Filosofen en wetenschappers hebben door de eeuwen heen met deze vragen geworsteld, maar voor het grootste deel van die tijd was ‘oneindigheid’ als concept niet goed gedefinieerd. Dit alles veranderde in de 19e eeuw toen wiskundigen leerden hoe ze oneindigheid als getal op een consistente manier konden manipuleren. Maar die regels brengen veel verrassingen met zich mee.
beschouw de natuurlijke getallen-1, 2, 3 enzovoort. Ze gaan onbeperkt door. Er zijn oneindig veel natuurlijke getallen. Vraag nu, zijn er meer natuurlijke getallen dan even getallen? Immers, de even getallen-2, 4, 6 enzovoort-zijn opgenomen in de natuurlijke getallen, afgewisseld met oneven.
het is verleidelijk om te zeggen dat er twee keer zoveel natuurlijke getallen zijn als even getallen. Maar dat is verkeerd.
als we zeggen dat twee verzamelingen van objecten gelijk zijn, zetten we ze één voor één in overeenstemming. Als ik bijvoorbeeld zeg dat ik hetzelfde aantal vingers heb als tenen, dan bedoel ik dat voor elke vinger er één teen overeenkomt, zonder tenen over en zonder vingers ongeëvenaard bij de finish.
doe nu hetzelfde voor natuurlijke getallen en even getallen: koppel 1 met 2, 2 met 4, 3 met 6, enzovoort. Er zal precies één even getal zijn voor elk natuurlijk getal. Het feit dat elke reeks een oneindige verzameling vormt betekent dat de verzamelingen van getallen dezelfde grootte hebben, ook al zit de ene verzameling in de andere!
dit resultaat geeft een definitie van oneindigheid: een oneindige verzameling objecten is zo groot dat het niet groter wordt gemaakt door er aan toe te voegen of te verdubbelen; noch wordt het kleiner gemaakt door er van af te trekken of te halveren. Het is een paradox die beroemd werd door de Duitse wiskundige David Hilbert (zie de video hieronder), die in een lezing in 1924 een hotel met een oneindig aantal kamers voor ogen had. Zelfs als het hotel vol is, wees hij erop, het kan nog steeds nieuwe gasten als elke gast verlaat hun kamer en beweegt een langs, waardoor het vrijmaken van kamer nummer 1. Dit kan een oneindig aantal keren worden gedaan.Het is een paradox die door de Duitser David Hilbert in 1924 beroemd werd.
desondanks zou het verkeerd zijn om de oneindigheid van natuurlijke getallen – die wiskundigen een ‘aftelbaar’ oneindige verzameling noemen, omdat je de leden één voor één kunt tellen – als het grootste denkbare getal te beschouwen.
tussen 1 en 2 ligt bijvoorbeeld een oneindig aantal getallen, zoals 3/5 en 7917/384431. Er is geen limiet aan hoeveel cijfers we kunnen toevoegen aan de teller en noemer om meer breuken te maken. Het zal je echter niet verbazen dat de verzameling van alle breuken in feite niet groter is dan de verzameling van natuurlijke getallen.: ze vormen ook een aftelbaar oneindige set.
maar niet alle getallen tussen 1 en 2 zijn fracties: sommige decimalen (met oneindige getallen van cijfers na het punt) kunnen niet als fracties worden uitgedrukt. Bijvoorbeeld, de vierkantswortel van 2 is een dergelijk getal. Het is bekend als een ‘irrationeel’ getal omdat het niet kan worden uitgedrukt als de verhouding van twee gehele getallen. Dit kan het best worden begrepen door een continue lijn voor te stellen, gekenmerkt door natuurlijke getallen met gelijke afstanden: 1, 2, 3 enzovoort. Er zal een oneindig aantal punten tussen 1 en 2 zijn, bijvoorbeeld, waarbij elk punt overeenkomt met een decimaal getal. Het maakt niet uit hoe klein een interval op die lijn is en hoeveel je het vergroot, er zal nog steeds een oneindig aantal punten zijn dat overeenkomt met een oneindig aantal decimalen.
het blijkt dat de verzameling van alle punten op een continue lijn een grotere oneindigheid is dan de natuurlijke getallen; wiskundigen zeggen dat er een oneindig aantal punten op de lijn (en in de driedimensionale ruimte) is. Je kunt gewoon niet elk punt op de lijn matchen met de natuurlijke getallen in een één-op-één correspondentie.
dus er zijn twee soorten oneindigheid, en het stopt daar niet, maar Ik zal; Ik heb slechts een eindig aantal woorden voor deze kolom gekregen. Tot slot wil ik terugkomen op het antwoord van mijn vader over de ruimte: is die oneindig? Nou, ja en nee.
als het continu is (en sommige natuurkundigen denken van niet) dan zal het een oneindig aantal punten bevatten. Maar dat betekent niet dat het eeuwig moet doorgaan. Zoals Einstein ontdekte, kan het in zichzelf gekromd zijn om een eindig volume te vormen.
dit leidde hem tot een opmerking: “slechts twee dingen zijn oneindig, het universum en de menselijke domheid, en ik ben niet zeker over de eerste.”
