Apoloniusz

dzieło Apoloniusza z Pergi rozszerzyło pole konstrukcji geometrycznych daleko poza zakres elementów. Na przykład Euklides w Księdze III pokazuje, jak narysować okrąg, aby przejść przez trzy podane punkty lub aby był styczny do trzech podanych linii; Apoloniusz (w dziele zwanym Tangencies, który już nie istnieje) znalazł okrąg styczny do trzech podanych okręgów lub styczny do dowolnej kombinacji trzech punktów, linii i okręgów. (Trójkołowa konstrukcja styczności, jeden z najszerzej zbadanych problemów geometrycznych, przyciągnął ponad 100 różnych rozwiązań w okresie nowożytnym.)

Apoloniusz jest najbardziej znany ze swoich stożków, Traktatu w ośmiu księgach (Księgi I–IV przetrwały w języku greckim, V–VII w średniowiecznym tłumaczeniu arabskim; Księga VIII zaginęła). Odcinki stożkowe to krzywe utworzone, gdy płaszczyzna przecina powierzchnię stożka (lub podwójnego stożka). Przyjmuje się, że powierzchnia stożka jest generowana przez obrót linii przez stały punkt wokół obwodu okręgu, który znajduje się w płaszczyźnie nie zawierającej tego punktu. (Stałym punktem jest wierzchołek stożka, a obróconą linią jego generator.) Istnieją trzy podstawowe typy: jeśli płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z pozycji generatora, tworzy parabolę; jeśli styka się ze stożkiem tylko po jednej stronie wierzchołka, tworzy elipsę (której szczególnym przypadkiem jest okrąg); ale jeśli styka się z obiema częściami stożka, tworzy hiperbolę. Apoloniusz szczegółowo określa właściwości tych krzywych. Pokazuje na przykład, że dla podanych segmentów linii a i b parabola odpowiada relacji (we współczesnej notacji) y2 = AX, elipsa do y2 = AX − ax2/B, A hiperbola do y2 = AX + ax2/B.

Traktat Apoloniusza o stożkach częściowo skonsolidował ponad stulecie pracy przed nim, a częściowo przedstawił nowe odkrycia własne. Jak wspomniano wcześniej, Euklid wydał już podręcznik na temat stożków, podczas gdy jeszcze wcześniejszy Menaechmus odegrał rolę w ich badaniach. Imiona, które Apoloniusz wybrał dla krzywych (terminy mogą być z nim oryginalne) wskazują na jeszcze wcześniejszy związek. W geometrii przed euklidesowej PARABOLĒ odnosi się do konkretnej operacji, „zastosowanie” danego obszaru do danej linii, w której linia x jest poszukiwana tak, że ax = B2 (gdzie A i b są podane linie); alternatywnie, x może być poszukiwana tak, że x(a + x) = b2 lub x(a − x) = b2, aw tych przypadkach aplikacja jest uważana za „nadmiar” (hyperbolē) lub „defekt” (elleipsis) przez ilość kwadratu (mianowicie x2). Konstrukcje te, stanowiące rozwiązanie geometryczne kwadratu ogólnego, pojawiają się w księgach I, II I VI pierwiastków i mogą być w jakiejś formie związane z Pitagorejczykami z V wieku.

Apoloniusz przedstawił kompleksowe badanie właściwości tych krzywych. Przykłady poruszanych przez niego tematów obejmują: relacje spełnione przez średnice i styczne stożków (Księga I); jak hiperbole są powiązane z ich „asymptotami”, linie, do których zbliżają się bez spotkania (Księga II); Jak rysować styczne do danych stożków (Księga II); relacje akordów przecinających się w stożkach (Księga III); określenie liczby sposobów, w jakie stożki mogą się przecinać (Księga IV); Jak narysować” normalne ” linie do stożków (to znaczy linie spełniające je pod kątem prostym; Księga V); oraz zgodność i podobieństwo stożków (Księga VI).

z wyraźnego stwierdzenia Apoloniusza wynika, że jego wyniki są głównym zastosowaniem jako metody rozwiązywania problemów geometrycznych za pomocą stożków. Chociaż faktycznie rozwiązał tylko ograniczony zestaw problemów, rozwiązania wielu innych można wywnioskować z jego twierdzeń. Na przykład twierdzenia z Księgi III pozwalają na wyznaczenie stożków, które przechodzą przez dane punkty lub są styczne do danych linii. W innym dziele (obecnie zaginionym) Apoloniusz rozwiązał problem powielania sześcianów przez stożki (rozwiązanie w jakiś sposób związane z tym, które podał Menaechmus); ponadto rozwiązanie problemu trisekcji kątów podane przez Pappusa mogło pochodzić od Apoloniusza lub być pod wpływem jego pracy.

wraz z postępem w dziedzinie problemów geometrycznych przez Euklidesa, Apoloniusza i ich zwolenników, właściwe stało się wprowadzenie schematu klasyfikującego: te problemy rozwiązywalne za pomocą stożków nazywano bryłą, natomiast te rozwiązywalne za pomocą okręgów i linii (jak zakładano w elementach euklidesowych) nazywane były planarnymi. Można więc podwoić kwadrat w sposób planarny (jak w elementach, Księga II, propozycja 14), ale nie można podwoić sześcianu w taki sposób, chociaż możliwa jest solidna konstrukcja (jak podano powyżej). Podobnie, bisekcja dowolnego kąta jest konstrukcją płaską (jak pokazano w elementach, Księga I, propozycja 9), ale ogólna trisekcja kąta jest typu stałego. Nie wiadomo, kiedy klasyfikacja została wprowadzona po raz pierwszy, ani kiedy metodom planarnym przypisano status kanoniczny w stosunku do innych, ale wydaje się prawdopodobne, aby datować to w pobliżu czasów Apoloniusza. Wiele z jego prac—takich jak Tangencies, Vergings (lub Inklinations), czy Plane Loci, obecnie utraconych, ale obszernie opisanych przez Pappusa—włącza się w projekt wyznaczania domeny konstrukcji płaskich w stosunku do rozwiązań innymi środkami. W oparciu o zasady geometrii Greckiej nie można jednak wykazać, że niemożliwe jest oddziaływanie za pomocą środków planarnych pewnych konstrukcji stałych (np. duplikacji sześcianu i trisekcji kątowej). Wyniki te zostały ustalone dopiero przez algebraistów w XIX wieku (zwłaszcza przez francuskiego matematyka Pierre ’ a Laurenta Wantzela w 1837 roku).

trzecia klasa problemów, zwana liniową, obejmuje te, które można rozwiązać za pomocą krzywych innych niż okrąg i stożki (w języku greckim słowo „linia”, grammē, odnosi się do wszystkich linii, czy to zakrzywionych, czy prostych). Na przykład, jedna grupa krzywych, konchoidy (z greckiego słowa oznaczającego „muszlę”), tworzy się przez zaznaczenie określonej długości na linijce, a następnie obrócenie jej wokół ustalonego punktu w taki sposób, że jeden z zaznaczonych punktów pozostaje na danej linii; drugi zaznaczony punkt wyznacza konchoid. Krzywe te mogą być stosowane wszędzie tam, gdzie rozwiązanie polega na ustawieniu zaznaczonej linijki względem danej linii (w języku greckim takie konstrukcje nazywane są neuses, czyli „vergings” linii do danego punktu). Na przykład, każdy kąt ostry (obliczony jako kąt między jednym bokiem a przekątną prostokąta) może być trisected przez biorąc długość równą dwukrotnej przekątnej i przesuwając go o około, aż dojdzie do wprowadzenia między dwoma innymi bokami prostokąta. Jeśli zamiast tego zostanie wprowadzona odpowiednia konchoida względem którejkolwiek z tych stron, wymagana pozycja linii może być określona bez prób i błędów ruchomej linijki. Ponieważ jednak ta sama konstrukcja może być zrealizowana za pomocą hiperboli, problem nie jest liniowy, ale stały. Takie zastosowania konchoidów zostały przedstawione przez Nikomedesa (w połowie lub pod koniec III wieku p. n. e.), a ich zastąpienie przez równoważne solidne konstrukcje wydaje się wkrótce potem, być może przez Apoloniusza lub jego współpracowników.

niektóre z krzywych używanych do rozwiązywania problemów nie są tak redukowalne. Na przykład spirala Archimedejska łączy jednolity ruch punktu na pół promienia z jednolitym obrotem promienia wokół ustalonego punktu na jego końcu (patrz pasek boczny: Kwadratrix Hippiasza). Takie krzywe mają swoje główne znaczenie jako środek do kwadratu okręgu i trisectingu kąta.