Apolônio

o trabalho de Apolônio de Perga estendeu o campo de construções geométricas muito além da Gama dos elementos. Por exemplo, Euclides no Livro III mostra como desenhar um círculo, de modo a passar por três pontos dados, ou seja tangente a três linhas dadas; Apolônio de tiana (em um trabalho chamado Tangências, que não sobreviveu) constatou que o círculo tangente a três dada círculos, ou tangente a qualquer combinação de três pontos, linhas e círculos. (A construção de tangência em três círculos, um dos problemas geométricos mais estudados, atraiu mais de 100 soluções diferentes no período moderno.)

Apolônio é mais conhecido por suas cónicas, um tratado em oito livros (Livros I–IV sobrevivem em grego, V–VII em uma tradução árabe medieval; O Livro VIII está perdido). As seções cónicas são as curvas formadas quando um plano intersecta a superfície de um cone (ou cone duplo). Supõe-se que a superfície do cone é gerada pela rotação de uma linha através de um ponto fixo em torno da circunferência de um círculo que está em um plano que não contém esse ponto. (O ponto fixo é o vértice do cone, e a linha Rodada seu gerador.) Existem três tipos básicos: se o plano de corte é paralelo a uma das posições do gerador, produz-se uma parábola; se ele atende o cone só em um lado do vértice, produz uma elipse (de que o círculo é um caso especial); mas se ele satisfaz as duas partes do cone, produz-se uma hipérbole. Apolônio expõe em detalhe as propriedades destas curvas. Ele mostra, por exemplo, que para uma dada linha de segmentos a e b a parábola corresponde à relação (em notação moderna) y2 = ax, a elipse para y2 = ax − ax2/b, e a hipérbole para y2 = ax + ax2/b.

o Tratado de Apolônio sobre cónicas, em parte, consolidou mais de um século de trabalho antes dele e, em parte, apresentou novas descobertas próprias. Como mencionado anteriormente, Euclides já havia emitido um livro sobre as cónicas, enquanto Menaechmus ainda antes tinha desempenhado um papel em seu estudo. Os nomes que Apolônio escolheu para as curvas (os termos podem ser originais com ele) indicam ainda uma conexão anterior. Na pré-geometria Euclidiana parabolè que se refere a uma operação específica, a “aplicação” de uma determinada área, para uma dada linha, em que a linha x é procurado tais que ax = b2 (onde a e b são dadas linhas); em alternativa, x pode ser pedida a tal que x(a + x) = b2, ou x(a − x) = b2, e, nestes casos, a aplicação está a ser dito em “excesso” (hyperbolē) ou “defeito” (elleipsis) pela quantidade de um quadrado, a figura (ou seja, x2). Estas construções, que equivalem a uma solução geométrica do quadrático geral, aparecem nos livros I, II e VI dos elementos e podem ser associadas de alguma forma com os pitagóricos do século V.Apolônio apresentou um levantamento abrangente das propriedades destas curvas. Um exemplo dos temas que ele cobriu inclui o seguinte: as relações satisfeito com os diâmetros e as tangentes das cônicas (Livro I); como hyperbolas estão relacionados com os seus “assíntotas,” as linhas que eles abordagem sem nunca reunião (Livro II); como desenhar tangentes a dada cônicas (Livro II); relações de acordes de interseção em cônicas (Livro III); a determinação do número de maneiras em que as cônicas podem se cruzar (Livro IV); como desenhar “normal” linhas para as cônicas (isto é, linhas de reunião-las em ângulos retos; Livro V); e a congruência e semelhança de cônicas (Livro VI).

pela declaração explícita de Apolônio, seus resultados são de uso principal como métodos para a solução de problemas geométricos via cónicos. Enquanto ele realmente resolveu apenas um conjunto limitado de problemas, as soluções de muitos outros podem ser inferidas a partir de seus teoremas. Por exemplo, os teoremas do Livro III permitem a determinação de cónicas que passam por pontos determinados ou são tangentes a linhas dadas. Em outro trabalho (agora perdido) Apolônio resolveu o problema da duplicação de cubos por cónicas (uma solução relacionada de alguma forma com a dada por Menaechmus); além disso, uma solução do problema da trissecção angular dada por Pappus pode ter vindo de Apolônio ou ter sido influenciado por seu trabalho.Com o avanço do campo de problemas geométricos por Euclides, Apolônio e seus seguidores, tornou-se apropriado introduzir um esquema de classificação .: esses problemas solucionáveis por meio de cónicas eram chamados sólidos, enquanto aqueles solúveis por meio de círculos e linhas somente (como assumido nos elementos de Euclides) eram chamados planar. Assim, pode-se dobrar o quadrado por meios planares (como em elementos, Livro II, proposição 14), mas não se pode dobrar o cubo de tal forma, embora seja possível uma construção sólida (como indicado acima). Similarmente, a bissecção de qualquer ângulo é uma construção planar (como mostrado em elementos, Livro I, proposição 9), mas a trissecção geral do ângulo é do tipo sólido. Não se sabe quando a classificação foi introduzida pela primeira vez ou quando os métodos planares foram atribuídos status canônico em relação aos outros, mas parece plausível até hoje perto do tempo de Apolônio. De fato, grande parte de seus livros de trabalho, como as tangências, os Vergings (ou inclinações), e o Loci Plano, Agora perdido, mas amplamente descrito por Pappus—gira sobre o projeto de definir o domínio das construções planares em relação às soluções por outros meios. Com base nos princípios da geometria grega, não se pode demonstrar, no entanto, que é impossível realizar por planar certas construções sólidas (como a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo). Estes resultados foram estabelecidos apenas por algebristas no século XIX (notavelmente pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel em 1837).

uma terceira classe de problemas, chamada linear, abraçou aqueles solúveis por meio de curvas que não o círculo e os cónicos (em grego a palavra para “linha”, grammē, refere-se a todas as linhas, curvadas ou rectas). Por exemplo, um grupo de curvas, o conchoids (da palavra grega para “shell”), são formadas por marcação fora de um determinado comprimento de uma régua e, em seguida, girando-a sobre um ponto fixo, de tal forma que um dos pontos marcados permanece em uma determinada linha; outro ponto marcado traça um conchoid. Estas curvas podem ser usadas onde uma solução envolve o posicionamento de uma régua marcada em relação a uma determinada linha (em grego, tais construções são chamadas de neuses, ou “vergings” de uma linha para um determinado ponto). Por exemplo, qualquer ângulo agudo (figurado como o ângulo entre um lado e a diagonal de um retângulo) pode ser trisected tomando um comprimento igual a duas vezes a diagonal e movendo-o sobre até que vem a ser inserido entre dois outros lados do retângulo. Se em vez disso o conchoid apropriado em relação a qualquer um desses lados for introduzido, a posição necessária da linha pode ser determinada sem a tentativa e erro de uma régua em movimento. Como a mesma construção pode ser realizada por meio de uma hipérbole, no entanto, o problema não é linear, mas sólido. Tais usos dos concóides foram apresentados por Nicomedes (meio ou final do século III a. C.), e sua substituição por construções sólidas equivalentes parece ter vindo logo depois, talvez por Apolônio ou seus associados.

algumas das curvas utilizadas para a resolução de problemas não são tão redutíveis. Por exemplo, os pares Espirais Arquimedeanos uniformizam o movimento de um ponto em meio raio com rotação uniforme do raio em torno de um ponto fixo na sua extremidade (ver lateral: Quadratrix de Hipias). Tais curvas têm seu interesse principal como meios para quadruplicar o círculo e trissectar o ângulo.