få siffror har utövat mer fascination och förvirring än oändligheten. Jag kan komma ihåg att fråga min far i ung ålder om rymden fortsatte för alltid. Han svarade att detta måste vara så eftersom, hur långt du reste ut i rymden, du kan alltid sträcka ut armen i ett tomrum bortom.
samma sak med tiden: kommer det att fortsätta i all evighet, och sträcker det sig oändligt långt tillbaka i det förflutna?
filosofer och vetenskapsmän har brottats med dessa frågor genom tiderna, men för det mesta var ’oändligheten’ som begrepp inte väldefinierat.
allt som förändrades i 19th century när matematiker lärde sig att manipulera oändligheten som ett tal på ett konsekvent sätt. Men dessa regler våren många överraskningar.
Tänk på de naturliga siffrorna-1, 2, 3 och så vidare. De fortsätter utan gräns. Det finns en oändlighet av naturliga tal. Fråga nu, finns det mer naturliga siffror än jämna siffror? När allt kommer omkring finns de jämna siffrorna – 2, 4, 6 och så vidare – inom de naturliga siffrorna, blandade med udda.
det är frestande att säga att det finns dubbelt så många naturliga tal som jämna tal. Men det är fel.
när vi säger att två uppsättningar objekt är lika, lägger vi dem i korrespondens en efter en. Till exempel, om jag hävdar att jag har samma antal fingrar som tår, menar jag att för varje finger motsvarar det en tå, utan tår kvar och inga fingrar kvar oöverträffade i mål.
gör nu detsamma för naturliga tal och jämntal: par 1 med 2, 2 med 4, 3 med 6 och så vidare. Det kommer att finnas exakt ett jämnt nummer för varje naturligt nummer. Det faktum att varje serie bildar en oändlig uppsättning betyder att uppsättningarna av siffror är lika stora, även om en uppsättning finns i den andra!
detta resultat ger en definition av oändlighet: en oändlig uppsättning objekt är så stor att den inte görs större genom att lägga till den eller fördubbla den; det görs inte heller mindre genom att subtrahera från den eller halvera den.
det är en paradox som blev känd av den tyska matematikern David Hilbert (se videon nedan) som i en föreläsning som hölls 1924 planerade ett hotell med ett oändligt antal rum. Även när hotellet är fullt, påpekade han, det kan fortfarande rymma nya gäster om varje gäst lämnar sitt rum och flyttar en längs, vilket frigör rum nummer 1. Detta kan göras ett oändligt antal gånger.
det är en paradox som blev känd av tyska David Hilbert 1924.
trots detta skulle det vara fel att tänka på oändligheten av naturliga tal – som matematiker kallar en ’räknbart’ oändlig uppsättning, eftersom du kan räkna medlemmarna en efter en – som det största tänkbara numret.
mellan 1 och 2 ligger till exempel ett oändligt antal siffror, till exempel 3/5 och 7917/384431. Det finns ingen gräns för hur många siffror vi kan lägga till täljaren och nämnaren för att göra fler bråk. Ändå kommer det inte att överraska dig att lära dig att uppsättningen av alla fraktioner faktiskt inte är större än uppsättningen naturliga tal: de bildar också en oändligt oändlig uppsättning.
men inte alla tal mellan 1 och 2 är bråk: vissa decimaler (med oändligt antal siffror efter punkten) kan inte uttryckas som bråk. Till exempel är kvadratroten av 2 ett sådant nummer. Det är känt som ett ’irrationellt’ tal eftersom det inte kan uttryckas som förhållandet mellan två heltal. Detta förstås bäst genom att förutse en kontinuerlig linje, märkt med lika fördelade naturliga tal: 1, 2, 3 och så vidare. Det kommer att finnas ett oändligt antal punkter mellan 1 och 2, till exempel, med varje punkt som motsvarar ett decimaltal. Oavsett hur litet ett intervall på den linjen och hur mycket du förstorar det, kommer det fortfarande att finnas ett oändligt antal punkter som motsvarar ett oändligt antal decimaler.
det visar sig att uppsättningen av alla punkter på en kontinuerlig linje är en större oändlighet än de naturliga siffrorna; matematiker säger att det finns ett oändligt oändligt antal punkter på linjen (och i tredimensionellt utrymme). Du kan helt enkelt inte matcha varje punkt på linjen med de naturliga siffrorna i en en-till-en-korrespondens.
så det finns två typer av oändlighet, och det slutar inte där, men jag kommer; Jag har tilldelats endast ett begränsat antal ord för denna kolumn. Låt mig avsluta med att återvända till min fars svar om rymden: är det oändligt? Tja, ja och nej.
om det är kontinuerligt (och vissa fysiker tror att det kanske inte är) kommer det att innehålla ett oändligt oändligt antal poäng. Men det betyder inte att det måste fortsätta för alltid. Som Einstein upptäckte kan den vara krökt i sig själv för att bilda en ändlig volym.
detta ledde honom till en gång anmärkning: ”endast två saker är oändliga, universum och mänsklig dumhet, och jag är inte säker på det förra.”
