Iterative metoder til løsning af økse = b-Jacobis metode

måske er den enkleste iterative metode til løsning af økse = b Jacobis metode. Bemærk, at enkelheden ved denne metode er både god og dårlig: god, fordi den er relativt let at forstå og dermed er en god første smag af iterative metoder; dårligt, fordi det typisk ikke bruges i praksis (skønt dets potentielle anvendelighed er blevet genovervejet med fremkomsten af parallel computing). Alligevel er det et godt udgangspunkt for at lære om mere nyttige, men mere komplicerede, iterative metoder.

givet en nuværende tilnærmelse

H(K) = (H1(k), H2(k), H3(k), …, hn(k))

for H, strategien for Jacobi ‘ s metode er at bruge den første ligning og de aktuelle værdier af H2(k), H3(k), …, hn(k) for at finde en ny værdi H1(k+1), og på samme måde at finde en ny værdi(k) ved hjælp af i-ligningen og de gamle værdier for de andre variabler. Det vil sige, i betragtning af de aktuelle værdier(k) = (1 (k), 2(k),…, K(k)), find nye værdier ved at løse for

K(k+1) = (1(k+1), 2 (k + 1),…, K(k+1))

i

dette system kan også skrives som

for at være klar betyder abonnementet i, at jeg(k) er det i-element i vektor

H(k) = (H1(k), H2(k), …, hi(k), …, hn(k) ),

og overskrift k svarer til den særlige iteration (ikke kth-kraften i Hi ).

hvis vi skriver D, L og U for henholdsvis diagonal, streng nedre trekantet og streng øvre trekantet og dele af A,

derefter kan Jacobi ‘s metode skrives i matrice-vektor notation som

eksempel 1

lad os anvende Jacobi’ s metode til systemet

.

ved hvert trin, i betragtning af de aktuelle værdier H1(k), H2(k), H3(k), løser vi for H1(k+1), H2(k+1) og H3(k+1) I

.

så hvis vores første gæt er (0) = (1 (0), 2(0), 3 (0)) er nulvektoren 0 = (0,0,0) — et almindeligt indledende gæt, medmindre vi har nogle yderligere oplysninger, der får os til at vælge nogle andre-så finder vi(1) = (1(1), 2(1), 3(1)) ved at løse

så(1) = (1(1), 2(1), 3(1)) = (3/4, 9/6, -6/7) ≈ (0.750, 1.500, -0.857). Vi gentager denne proces for at finde en sekvens af stadig bedre tilnærmelser (0), (1), (2), … . Vi viser resultaterne i nedenstående tabel med alle værdier afrundet til 3 decimaler.

vi er interesserede i fejlen e ved hver iteration mellem den sande løsning og tilnærmelsen(k): e(k) = K(k) . For bedre at forstå adfærden ved en iterativ metode er det imidlertid oplysende at bruge metoden til at løse en systemøkse = b, som vi kender den sande løsning til, og analysere, hvor hurtigt tilnærmelserne konvergerer til den sande løsning. For dette eksempel er den sande løsning H = (1, 2, -1).

normen for en vektor ||h|| fortæller os, hvor stor vektoren er som helhed (i modsætning til hvor stort hvert element i vektoren er). Vektornormen, der oftest bruges i lineær algebra, er L2-normen:

for eksempel, hvis H = (1, 2, -1), så

i dette modul bruger vi altid L2-normen (inklusive for matriksnormer i efterfølgende tutorials), så | / / / altid betyder|| ||2.

til vores formål bemærker vi, at|| h / / vil være lille nøjagtigt, når hvert af elementerne H1, H2,…, HN i h = (H1, H2,…, HN ) er lille. I den følgende tabel bliver fejlens norm gradvist mindre, da fejlen i hvert af de tre elementer h1, h2, h3 bliver mindre, eller med andre ord, når tilnærmelserne gradvist bliver bedre.