Særlige tal og koncepter

denne side forklarer flere bestemte typer tal og udtryk, der bruges i matematik:

• primtal
• firkanter og firkantede rødder
• eksponenter, ordrer, indekser og kræfter
• faktorer og multipler
• uendelige (irrationelle) tal
• reelle, imaginære og komplekse tal

at vide om disse begreber vil hjælpe dig med mere avanceret matematik, fra brøker og decimaler op til alvorligt kompliceret algebra.

som ethvert andet emne har matematik til en vis grad sit eget sprog. Denne side tager dig et skridt tættere på at forstå matematikens sprog.

primtal

et primtal kan kun divideres med sig selv og 1 (en) for at efterlade et helt tal (heltal) svar.

en matematiker kan sige: et primtal er et tal, der kun har to heltal divisorer: sig selv og en.

nogle hurtige fakta om primtal:

• 1 er ikke et primtal. Definition skal have nøjagtigt to positive divisorer. 1 har kun en positiv divisor (1).
• 2 er det eneste lige primtal, fordi alle andre lige tal selvfølgelig divideres med 2.
• det 1000.primtal er 7.919.
• Euclid, den græske matematiker, demonstrerede i omkring 300BC, at der er et uendeligt antal primtal.

primtal er vigtige i matematik og computing. For de fleste af os er deres brug dog sandsynligvis begrænset til interesse og til at vide, hvornår du har nået grænsen for at forenkle en brøkdel. Se vores side: fraktioner for mere information om at arbejde med fraktioner.

firkanter og firkantede rødder

kvadratet på et tal er det tal, du får, hvis du multiplicerer dette tal med sig selv. Det er skrevet som et hævet 2 efter det nummer, det gælder for, så vi skriver H2, hvor H er et hvilket som helst tal.

hvis f.eks. var 5:
52 = 5 gange 5 = 25.

firkantede tal bruges i arealberegninger såvel som andre steder i matematik.

Antag, at du vil male en væg, der er 5 meter høj og 5 meter bred. Multiplicer 5m til 5m for at give dig 25m2 . Hvis dette siges højt, ville det være’femogtyve meter kvadreret’. Du skal købe nok maling til 25m2. Du kan også se dette benævnt ’25 kvadratmeter’, hvilket er korrekt. En 25m firkant er dog slet ikke den samme ting – det ville være 25m 25m = 625m2.

se vores side: Beregning af areal for mere

kvadratroden af et tal er det tal, der er kvadreret for at opnå dette tal. Kvadratrodssymbolet er prislist

kvadratrødder er lettere at forstå med eksempler:

√25 = 5, dvs. 5 er kvadratroden af 25 siden 5 gange 5 =25
√4 = 2, dvs. 2 er kvadratroden af 4 siden 2 gange 2 =4

ikke alle tal har en kvadratrod, der er et heltal. For eksempel er Kr. 13 3.60555.

ordrer, eksponenter, indekser og beføjelser

i et firkantet tal er superscript 2 ‘rækkefølgen’ af H, dvs. antallet af gange h ganges med sig selv. Ordren kan være et hvilket som helst tal, positivt eller negativt.

for eksempel:
23 = 2 * 2 * 2 = 8
510 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 9.765.625

ordrer kaldes også eksponenter, indekser og kræfter. Når det er sagt højt, kan det første eksempel blive omtalt som ‘to til magten tre’, og det andet ville være ‘fem til magten ti’ eller ‘fem eksponent ti’. Vilkårene er udskiftelige og er undertiden regionale. For eksempel er det sædvanlige udtryk i Nordamerika ‘eksponent’, men i Storbritannien er det mere normalt indekser eller beføjelser.

standardformular

ordrer bruges til at udtrykke meget store og meget små tal ved hjælp af en type matematisk forkortelse kendt som standardformular. Standardformular kaldes også undertiden ‘videnskabelig notation’.

standardformularen er skrevet som en 10N.

i denne formular er A et tal større end eller lig med 1 og mindre end 10.

ordren n kan være et hvilket som helst positivt eller negativt heltal, og er antallet af gange A skal ganges med 10 for at svare til det meget store eller meget lille tal, som vi skriver.

for eksempel:

2.000.000 = 2 10 10 10 10 10 = 2 106.
5 gange 10-5 = 0,00005

brug af standardformular reducerer antallet af cifre, vi skal skrive. Det hjælper også med at eliminere fejl – det er ikke let at læse så mange nuller nøjagtigt:
1.23 * 1012 = 1.230.000.000.000
4 * 10-15 = 0.000000000000004

faktorer og multipla

faktorer er tal, der deler eller ‘går’ et helt antal gange i en anden.

for eksempel er 2, 3, 5 og 6 alle faktorer på 30.

hver af dem går ind i 30 et helt antal gange. En anden måde at beskrive dette ved hjælp af mere matematisk sprog er at sige, at 30 kan divideres med 2, 3, 5 og 6 for at give heltalssvar.

multipler er de tal, du får, når du multiplicerer et tal med et andet.

4 er for eksempel et multiplum af 2.

30 er et multiplum af 15, 6, 5, 3 og 2.

uendelige tal (irrationelle tal)

udtrykket ‘uendelige tal’ henviser ikke til det faktum, at der er et uendeligt antal tal. I stedet henviser det til tal, der ikke selv nogensinde slutter.

det mest kendte uendelige tal er sandsynligvis pi, Kristian, der starter 3.142 og fortsætter derfra. Ikke engang det mest magtfulde computerprogram i verden kunne nogensinde kortlægge alle dets tal, fordi det er uendeligt.

disse tal kaldes også irrationelle tal.

endelige tal er tal, der har et endeligt antal cifre. Efter et bestemt punkt er det eneste tal, der kan tilføjes, nul. 1, 3, 1,5 og 0,625 er alle eksempler på endelige tal.

tilbagevendende tal er en bestemt form for uendelige tal. Her gentages det samme eller få cifre uendeligt i decimalformen af nummeret.

nogle tal, der let kan udtrykkes som brøker, viser sig at være tilbagevendende tal i decimalformen.

eksempler inkluderer 1/3, hvilket er 0.33333 tilbagevendende i decimaler og 1/11, hvilket er 0,090909090909 tilbagevendende.

reelle, uvirkelige og komplekse tal

reelle tal er tal, der faktisk eksisterer og kan have en fysisk værdi placeret på dem.

reelle tal kan være positive eller negative og kan være heltal (hele tal) eller decimaler. De kan endda være uendelige tal, men de kan skrives som tal og udtrykkes i tal.

imaginære tal, som deres navn antyder, eksisterer faktisk ikke, men er en matematisk konstruktion til at løse visse problemer.

det enkleste eksempel er kvadratroden af et minustal. Vi kan kun få et minus (negativt) tal ved at gange et negativt tal med et positivt tal. Hvis du multiplicerer to negative tal eller to positive tal, får du altid et positivt svar. Det følger derfor, at kvadratroden af et negativt tal ikke kan eksistere.

dog kan det i matematik! Kvadratroden af minus one får notationen i. faktisk bruger det i den virkelige verden matematikproblemer kræver oprindeligt lidt abstrakt tænkning, men det er et meget nyttigt koncept i nogle applikationer.

komplekse tal følger fra reelle og uvirkelige tal. De er tal sammensat af et reelt tal ganget med et uvirkeligt eller imaginært tal, normalt betegnet med et multiplum af i.

ikke ligefrem hverdagskoncepter?

nogle af de begreber, der er beskrevet på denne side, synes muligvis ikke at være meget nyttige i hverdagen. Det gør dog aldrig ondt at have en grundlæggende forståelse af nogle af de enklere matematiske begreber, og de er ikke så uklare, som du måske tror. For eksempel kan det komme som en overraskelse at vide, at imaginære tal bruges meget inden for elektroteknik… og det kan være nyttigt, hvis du finder dig selv i at tale med en elektroingeniør på en fest…