In der Pythagorean Theorem-Episode von NBC Learns „The Science of NFL Football“ sehen Sie, dass ein Verteidiger in der Mitte des Feldes den richtigen Verfolgungswinkel einnehmen muss, um einen Ballträger zu fangen, der die Seitenlinie für die Endzone hinunterstürzt.
Bei der Jagd nach dem Ballträger läuft der Verteidiger grundsätzlich entlang der Diagonale eines rechtwinkligen Dreiecks, in dem die Summe der Quadrate der Seiten dem Quadrat dieser Diagonale entspricht. Sie kennen diese Beziehung, die vom griechischen Mathematiker Pythagoras aus dem 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckt wurde, als a2 + b2 = c2.
Das „c“ ist die Hypotenuse, und obwohl es die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks darstellt, ist es der kürzeste Weg zwischen den beiden Punkten an beiden Enden. Wenn die Punkte auf dem Dreieck Orte wären, die man in einer Stadt besuchen sollte, würde man wahrscheinlich nicht die Mühe machen, entlang a und b zu gehen, wenn man direkt c nehmen könnte.
Aber die Hypotenuse ist nicht immer die kürzeste Route. Tatsächlich ist es nur das kürzeste auf Fußballfeldern und anderen ebenen Flächen. Auf Kugeln und anderen Formen darf es nicht sein.
Sie können diese Unterscheidung sehen, wenn Sie ein rechtwinkliges Dreieck auf einen Globus zeichnen. Lassen Sie uns zunächst eine Stadt am Äquator auswählen – der Einfachheit halber sagen wir, es ist Quito, Ecuador, an der Pazifikküste Südamerikas. Verfolgen Sie von Quito aus eine Längenlinie zum Nordpol; machen Sie dann eine 90-Grad-Drehung nach rechts und gehen Sie geradeaus zurück. Am Äquator, Sie werden eine Stadt in der Nähe namens Libreville bemerken, die Hauptstadt des Landes Gabun in Afrika.
Zeichnen Sie nun eine Linie entlang der Erdoberfläche, beginnend in Quito und in Richtung Libreville. Sie sind wahrscheinlich nach Osten gegangen, über Brasilien und den Atlantik. In der Tat markiert diese Hypotenuse, die ein Viertel des Globus durchquert, die kürzeste Entfernung. Aber das ist nicht die einzige Hypotenuse.
Mathematisch gesehen hätten Sie immer noch ein rechtwinkliges Dreieck, wenn Sie von Quito aus nach Westen fahren und die Erde entlang des Äquators umrunden würden, um nach Libreville zu gelangen. Die Hypotenuse beträgt in diesem Fall drei Viertel des Umfangs. Es wäre kürzer gewesen, von Quito zum Nordpol und dann hinunter nach Libreville zu reisen.
Der Satz des Pythagoras funktioniert nur auf zweidimensionalen Oberflächen wie Fußballfeldern; Mathematiker bezeichnen solche Oberflächen als euklidische Geometrie (benannt nach Euklid, dem griechischen Mathematiker des 3. Jahrhunderts v. Chr.). Der Satz schlägt für nicht-euklidische Geometrien wie Kugeln und komplexere Geometrien wie Sättel fehl. In der Tat beziehen sich alle Regeln, die Sie in der Schule gelernt haben, wie parallele Linien, die parallel bleiben, nur auf die euklidische Geometrie. Im nicht-euklidischen Universum können parallele Linien tatsächlich divergieren oder konvergieren.
Obwohl nicht-euklidische Geometrie exotisch und ungewohnt erscheinen mag, ist sie in vielen Bereichen der Wissenschaft tatsächlich üblich – vielleicht am bemerkenswertesten in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, in der die Schwerkraft die Form von Raum und Zeit biegen kann.