Dans l’épisode ThePythagorean theorem de NBC Learn « The Science of NFL Football », vous voyez qu’un défenseur au milieu du terrain doit prendre l’angle de poursuite approprié pour attraper un porteur de ballon faisant un trait le long de la ligne de touche pour la zone des buts.
Pour chasser le porteur de balle, le défenseur court essentiellement le long de la diagonale d’un triangle rectangle, dans lequel la somme des carrés des côtés est égale au carré de cette diagonale. Vous connaissez peut-être cette relation, découverte par le mathématicien grec Pythagore du 5ème siècle avant JC, comme a2 + b2 = c2.
Le « c » est l’hypoténuse, et bien qu’il représente le côté le plus long d’un triangle rectangle, c’est le chemin le plus court entre les deux points de chaque extrémité. Si les points du triangle étaient des endroits à visiter dans une ville, vous ne vous embêteriez probablement pas à marcher le long de a et b si vous pouviez prendre directement c.
Mais l’hypoténuse n’est pas toujours l’itinéraire le plus court. En fait, ce n’est que le plus court sur les terrains de football et autres surfaces planes. Sur les sphères et autres formes, ce n’est peut-être pas le cas.
Vous pouvez voir cette distinction si vous dessinez un triangle rectangle sur un globe. D’abord, choisissons une ville sur l’équateurfor pour plus de simplicité, disons que c’est Quito, en Équateur, sur la côte pacifique de l’Amérique du Sud. De Quito, tracez une ligne de longitude jusqu’au pôle nord; ensuite, tournez à 90 degrés vers la droite et redescendez tout droit. À l’équateur, vous remarquerez une ville voisine appelée Libreville, la capitale du pays du Gabon en Afrique.
Tracez maintenant une ligne le long de la surface du globe en commençant par Quito et en direction de Libreville. Vous êtes probablement allé vers l’est, en passant par le Brésil et l’océan Atlantique. En effet, cette hypoténuse, traversant un quart du globe, marque la distance la plus courte. Mais ce n’est pas la seule hypoténuse.
Mathématiquement parlant, vous auriez toujours un triangle rectangle si vous alliez vers l’ouest de Quito, en faisant le tour de la Terre le long de l’équateur pour vous rendre à Libreville. L’hypoténuse dans ce cas représente les trois quarts de la circonférence. Il aurait été plus court de voyager de Quito au Pôle Nord, puis de descendre à Libreville.
Le théorème de Pythagore ne fonctionne que sur des surfaces bidimensionnelles comme les terrains de football; les mathématiciens se réfèrent à des surfaces telles que la géométrie euclidienne (du nom d’Euclide, le mathématicien grec du 3ème siècle avant JC). Le théorème échoue pour les géométries non euclidiennes, telles que les sphères et les géométries plus complexes comme les selles. En effet, toutes les règles que vous avez apprises à l’école, comme les lignes parallèles qui restent parallèles, ne font référence qu’à la géométrie euclidienne. Dans l’univers non euclidien, les lignes parallèles peuvent réellement diverger ou converger.
Bien que la géométrie non euclidienne puisse sembler exotique et peu familière, elle est en fait courante dans de nombreux domaines de la science – peut-être plus particulièrement dans la théorie de la relativité générale d’Einstein, dans laquelle la gravité peut plier la forme de l’espace et du temps.