poucos números exerceram mais fascinação, e confusão, do que o infinito. Lembro-me de perguntar ao meu pai, ainda jovem, se o espaço continuava para sempre. Ele respondeu que isso deve ser assim porque, por mais longe que você viajou para o espaço, você sempre poderia esticar o seu braço para um vazio além.
Mesma coisa com o tempo: será que vai continuar por toda a eternidade, e não se estendem para trás infinitamente distante no passado?Filósofos e cientistas têm lutado com estas questões ao longo dos tempos, mas durante a maior parte do tempo ‘infinito’ como um conceito não foi bem definido.
tudo o que mudou no século XIX, quando os matemáticos aprenderam a manipular o infinito como um número de uma forma consistente. Mas essas regras trazem muitas surpresas.
considere os números naturais-1, 2, 3 e assim por diante. Continuam sem limites. Há uma infinidade de Números Naturais. Agora pergunte, há mais números naturais do que números pares? Afinal, os números pares – 2, 4, 6 e assim por diante-estão contidos dentro dos números naturais, intercalados com números ímpares. É tentador dizer que há o dobro de números naturais que números pares. Mas isso é errado. Quando dizemos que dois conjuntos de objectos são iguais, colocamo-los em correspondência numa base de um por um. Por exemplo, se afirmo que tenho o mesmo número de dedos dos pés, quero dizer que para cada um dos dedos corresponde um dedo, sem os dedos dos pés deixados por cima e sem os dedos dos pés inigualáveis no final.
agora faça o mesmo para números naturais e números pares: par 1 com 2, 2 com 4, 3 com 6, e assim por diante. Haverá exatamente um número par para cada número natural. O fato de que cada série forma um conjunto infinito significa que os conjuntos de números são do mesmo tamanho, mesmo que um conjunto esteja contido dentro do outro!
este resultado dá uma definição de infinito: um conjunto infinito de objetos é tão grande que não é feito maior adicionando-o ou dobrando-o; nem é feito menor subtraindo-o ou reduzindo-o para metade.
é um paradoxo tornado famoso pelo matemático alemão David Hilbert (veja o vídeo abaixo) que, em uma palestra entregue em 1924, previu um hotel com um número infinito de quartos. Mesmo quando o hotel está cheio, ele apontou, ele ainda pode acomodar novos hóspedes se cada hóspede sai de seu quarto e se move um ao longo, libertando assim o quarto número 1. Isto pode ser feito um número infinito de vezes.É um paradoxo tornado famoso pelo alemão David Hilbert em 1924.
apesar disso, seria errado pensar na infinidade de números naturais – a que os matemáticos se referem como um conjunto infinito ‘contável’, porque você pode contar os membros um por um – como o maior número concebível.
entre 1 e 2, por exemplo, há um número infinito de números, como 3/5 e 7917/384431. Não há limite para quantos dígitos podemos adicionar ao numerador e denominador para fazer mais frações. No entanto, não vai surpreendê-lo saber que o conjunto de todas as frações não é de fato maior do que o conjunto dos números naturais: também formam um conjunto infinito contável.
mas nem todos os números entre 1 e 2 são fracções: algumas casas decimais (com números infinitos de algarismos após o ponto) não podem ser expressas como fracções. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 é um desses números. É conhecido como um número “irracional” porque não pode ser expresso como a razão de dois inteiros. Isto é melhor entendido por visionar uma linha contínua, rotulada por números naturais igualmente espaçados: 1, 2, 3 e assim por diante. Haverá um número infinito de pontos entre 1 e 2, por exemplo, com cada ponto correspondente a um número decimal. Não importa o quão pequeno um intervalo nessa linha e quanto você o amplie, ainda haverá um número infinito de pontos correspondentes a um número infinito de decimais.
acontece que o conjunto de todos os pontos em uma linha contínua é um infinito maior do que os números naturais; os matemáticos dizem que há um uncountably número infinito de pontos na linha (e no espaço tridimensional). Você simplesmente não pode igualar cada ponto na linha com os números naturais em uma correspondência de um para um. Então há dois tipos de infinito, e não pára por aí, mas eu vou; Só me foi atribuído um número finito de palavras para esta coluna. Permitam-me que termine voltando à resposta do meu pai sobre o espaço: é infinito? Bem, sim e não.
se for contínua (e alguns físicos pensam que pode não ser), então conterá um número infinito incontável de pontos. Mas isso não significa que tenha de durar para sempre. Como Einstein descobriu, ele pode ser curvado em si mesmo para formar um volume finito.
isto o levou a uma observação: “apenas duas coisas são infinitas, o universo e a estupidez humana, e eu não tenho certeza sobre a primeira.”
