Särskilda nummer och begrepp

denna sida förklarar flera specifika typer av siffror och termer som används i matematik:

• primtal
• kvadrater och kvadratrötter
• exponenter, order, index och befogenheter
• faktorer och multiplar
• oändliga (irrationella) tal
• verkliga, imaginära och komplexa tal

att veta om dessa begrepp hjälper dig med mer avancerad matematik, från bråk och decimaler upp till allvarligt komplicerad algebra.

liksom alla andra ämnen har matematik till viss del sitt eget språk. Den här sidan tar dig ett steg närmare att förstå matematikens språk.

primtal

ett primtal kan bara delas av sig själv och 1 (ett) för att lämna ett heltal (heltal) svar.

en matematiker kan säga: ett primtal är ett tal som bara har två heltal divisorer: sig själv och en.

några snabba fakta om primtal:

• 1 är inte ett primtal. Ett primtal måste per definition ha exakt två positiva delare. 1 har endast en positiv divisor (1).
• 2 är det enda jämna primtalet, eftersom alla andra jämna tal naturligtvis delas med 2.
• det 1000: e primtalet är 7,919.
• Euclid, den grekiska matematikern, visade i omkring 300BC att det finns ett oändligt antal primtal.

primtal är viktiga i matematik och databehandling. För de flesta av oss, men deras användning är förmodligen begränsad till intresse, och att veta när du har nått gränsen för att förenkla en bråkdel. Se vår sida: fraktioner för mer information om att arbeta med fraktioner.

kvadrater och kvadratrötter

kvadraten på ett tal är det nummer du får om du multiplicerar det numret av sig själv. Det är skrivet som en överskriven 2 Efter det nummer som det gäller, så vi skriver x2, där x är vilket nummer som helst.

till exempel, om x var 5:
52 = 5 x 5 = 25.

kvadratiska tal används i områdesberäkningar såväl som på andra håll i matematik.

anta att du vill måla en vägg som är 5 meter hög och 5 meter bred. Multiplicera 5m 5m för att ge dig 25m2 . Om detta sägs högt skulle det vara ’tjugofem meter kvadrat’. Du skulle behöva köpa tillräckligt med färg för 25m2. Du kan se detta kallas ’25 kvadratmeter’ också, vilket är korrekt. En 25m kvadrat är dock inte samma sak alls – det skulle vara 25m x 25m = 625m2.

se vår sida: Beräkningsområde för mer

kvadratroten av ett tal är det tal som är kvadrerat för att erhålla det numret. Kvadratrotsymbolen är

Kvadratrotsymbolen är lättare att förstå med exempel:

√25 = 5, dvs 5 är kvadratroten av 25 sedan 5 x 5 =25
√4 = 2, dvs 2 är kvadratroten av 4 Eftersom 2 x 2 =4

inte alla siffror har en kvadratrot som är ett heltal. Till exempel är 13 i 13 3,60555.

order, exponenter, index och befogenheter

i ett kvadratnummer är superscript 2 ’ordningen’ på x, dvs. antalet gånger X multipliceras med sig själv. Ordern kan vara valfritt antal, positiva eller negativa.

till exempel:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
510 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 9 765 625

order kallas också exponenter, index och krafter. När det sägs högt kan det första exemplet kallas ’två till kraften tre’ och det andra skulle vara ’fem till kraften tio’ eller ’fem exponent tio’. Villkoren är utbytbara och är ibland regionala. Till exempel är den vanliga termen i Nordamerika ’exponent’, men i Storbritannien är det vanligtvis index eller befogenheter.

standardformulär

order används för att uttrycka mycket stora och mycket små tal med hjälp av en typ av matematisk förkortning som kallas standardform. Standardform kallas också ibland ’vetenskaplig notation’.

standardformulär skrivs som en x 10n.

i denna form är a ett tal större än eller lika med 1 och mindre än 10.

ordningen n kan vara vilket som helst positivt eller negativt heltal, och är antalet gånger a måste multipliceras med 10 för att motsvara det mycket stora eller mycket lilla antalet som vi skriver.

till exempel:

2 000 000 = 2 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 2 x 106.
5 x 10-5 = 0.00005

användningen av standardformulär minskar antalet siffror vi behöver skriva. Det hjälper också till att eliminera fel – det är inte lätt att noggrant läsa så många nollor:
1.23 x 1012 = 1,230,000,000,000
4 x 10-15 = 0.000000000000004

faktorer och multiplar

faktorer är tal som delar upp eller ’går’ ett helt antal gånger i en annan.

till exempel är 2, 3, 5 och 6 alla faktorer på 30.

var och en av dem går in i 30 ett stort antal gånger. Ett annat sätt att beskriva detta med mer matematiskt språk är att säga att 30 kan delas med 2, 3, 5 och 6 för att ge heltal svar.

multiplar är de siffror du får när du multiplicerar ett nummer med ett annat.

4 är till exempel en multipel av 2.

30 är en multipel av 15, 6, 5, 3 och 2.

oändliga tal (irrationella tal)

frasen ’oändliga tal’ hänvisar inte till det faktum att det finns ett oändligt antal tal. Istället hänvisar det till siffror som inte själva slutar någonsin.

det mest kända oändliga numret är förmodligen pi, Xiaomi, som börjar 3.142 och fortsätter därifrån. Inte ens det mest kraftfulla datorprogrammet i världen kunde någonsin kartlägga alla sina nummer, eftersom det är oändligt.

dessa siffror kallas också irrationella tal.

ändliga siffror är siffror som har ett ändligt antal siffror. Efter en viss punkt är det enda numret som kan läggas till noll. 1, 3, 1,5 och 0,625 är alla exempel på ändliga tal.

återkommande tal är en speciell form av oändliga tal. Här upprepar samma eller få siffror oändligt i decimalform av numret.

vissa tal som lätt kan uttryckas som bråk visar sig vara återkommande tal i decimalform.

exempel inkluderar 1/3, vilket är 0.33333 återkommande i decimaler och 1/11 vilket är 0,090909090909 återkommande.

verkliga, orealistiska och komplexa tal

reella tal är siffror som faktiskt existerar och kan ha ett fysiskt värde placerat på dem.

reella tal kan vara positiva eller negativa och kan vara heltal (heltal) eller decimaler. De kan till och med vara oändliga tal, men de kan skrivas som siffror och uttryckas i siffror.

imaginära tal, som namnet antyder, existerar inte, men är en matematisk konstruktion för att lösa vissa problem.

det enklaste exemplet är kvadratroten av ett minusnummer. Vi kan bara få ett minus (negativt) tal genom att multiplicera ett negativt tal med ett positivt tal. Om du multiplicerar två negativa tal eller två positiva tal får du alltid ett positivt svar. Det följer därför att kvadratroten av ett negativt tal inte kan existera.

men det kan i matematik! Kvadratroten av minus en ges notationen i. att faktiskt använda det i verkliga matematiska problem kräver initialt lite abstrakt tänkande, men det är ett mycket användbart koncept i vissa applikationer.

komplexa tal följer från verkliga och overkliga tal. De är siffror som består av ett reellt tal multiplicerat med ett orealistiskt eller imaginärt tal, vanligtvis betecknat med någon multipel av i.

inte exakt vardagliga begrepp?

några av de begrepp som beskrivs på denna sida kanske inte verkar vara särskilt användbara i vardagen. Men det skadar aldrig att ha en grundläggande förståelse för några av de enklare matematiska begreppen, och de är inte så dunkla som du kanske tror. Det kan till exempel komma som en överraskning att veta att imaginära tal används mycket inom elektroteknik… och det kan vara till nytta om du befinner dig och pratar med en elingenjör på en fest…