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Transformación de Cabeza de familia

Transformación de Cabeza de familia (también «Reflexión de Cabeza de familia») es una transformación de reflexión ortogonal:

  • refleja los vectores en las columnas de la matriz de tal manera que
  • el primer vector tiene todos los ceros excepto el primer elemento

La Matriz de Transformación

Transformación de reflexión:

Propiedades

Las matrices de cabeza de familia son simétricas y ortogonales: son matrices de reflexión

Derivación

Así que tenemos $P = I – 2vv^T T:

Hacemos uso de transformaciones para la puesta a cero de los elementos

Descomposición QR

Como en el caso de la Descomposición LU, donde hemos aplicado una serie de Gauss de Transformación de los cambios, podemos hacer lo mismo y realizar una serie de Transformaciones de Householder

  • así que si seleccionamos $y = \pm e_1$ (donde $e_1$ es la matriz con 1 en la posición 1 y el resto son ceros)
  • a continuación, volverá a cero todos los elementos de $x$, excepto la primera
  • por lo tanto por la elección adecuada de $H$ podemos tomar $A$ y cero todos los sub-diagonal los elementos
  • pueden hacer eso varias veces por cada columna de $A$

De esta manera podemos realizar la Descomposición QR:

Descomposición de Hessenberg

En lugar de usarla para reducir la matriz a Triangular, podemos usar Transformación de Cabeza de familia para reducir una matriz a Matriz de Hessenberg

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