Pocos números han ejercido más fascinación y confusión que el infinito. Recuerdo haberle preguntado a mi padre a una edad temprana si el espacio se prolongaba para siempre. Él respondió que esto debe ser así porque, por muy lejos que viajaras al espacio, siempre podrías estirar tu brazo hacia un vacío más allá.
Lo mismo con el tiempo: ¿continuará por toda la eternidad, y se remonta infinitamente al pasado?
Filósofos y científicos han luchado con estas preguntas a lo largo de los siglos, pero durante la mayor parte de ese tiempo, el concepto «infinito» como concepto no estaba bien definido.
Todo eso cambió en el siglo XIX cuando los matemáticos aprendieron a manipular el infinito como un número de una manera consistente. Pero esas reglas traen muchas sorpresas.
Considere los números naturales: 1, 2, 3, etc. Siguen sin límite. Hay una infinidad de números naturales. Ahora pregunta, ¿hay más números naturales que números pares? Después de todo, los números pares – 2, 4, 6 y así sucesivamente – están contenidos dentro de los números naturales, intercalados con los impares.
Es tentador decir que hay dos veces más números naturales que números pares. Pero eso está mal.
Cuando decimos que dos conjuntos de objetos son iguales, los ponemos en correspondencia uno por uno. Por ejemplo, si afirmo que tengo el mismo número de dedos de las manos que de los pies, quiero decir que por cada dedo corresponde un dedo del pie, sin dedos de los pies sobrantes ni dedos de los pies iguales al final.
Ahora haga lo mismo para números naturales y números pares: empareje 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6, y así sucesivamente. Habrá exactamente un número par por cada número natural. El hecho de que cada serie forme un conjunto infinito significa que los conjuntos de números son del mismo tamaño, ¡aunque un conjunto esté contenido dentro del otro!
Este resultado da una definición de infinito: un conjunto infinito de objetos es tan grande que no se hace más grande agregándolo o duplicándolo; ni se hace más pequeño restándolo o dividiéndolo a la mitad.
Es una paradoja que se hizo famosa por el matemático alemán David Hilbert (ver el video a continuación) quien, en una conferencia pronunciada en 1924, imaginó un hotel con un número infinito de habitaciones. Incluso cuando el hotel está lleno, señaló, todavía puede acomodar a nuevos huéspedes si cada huésped desocupa su habitación y se mueve, liberando así la habitación número 1. Esto se puede hacer un número infinito de veces.
Es una paradoja que el alemán David Hilbert hizo famosa en 1924.
A pesar de esto, sería un error pensar en la infinidad de números naturales, a los que los matemáticos se refieren como un conjunto infinito «numerable», porque se pueden contar los miembros uno por uno, como el número más grande imaginable.
Entre 1 y 2, por ejemplo, hay un número infinito de números, como 3/5 y 7917/384431. No hay límite para cuántos dígitos podemos agregar al numerador y denominador para hacer más fracciones. Sin embargo, no le sorprenderá saber que el conjunto de todas las fracciones no es de hecho mayor que el conjunto de números naturales: también forman un conjunto infinito numerable.
Pero no todos los números entre 1 y 2 son fracciones: algunos decimales (con números infinitos de dígitos después del punto) no se pueden expresar como fracciones. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es uno de esos números. Se conoce como un número ‘irracional’ porque no se puede expresar como la relación de dos enteros. Esto se entiende mejor imaginando una línea continua, etiquetada con números naturales igualmente espaciados: 1, 2, 3 y así sucesivamente. Habrá un número infinito de puntos entre 1 y 2, por ejemplo, con cada punto correspondiente a un número decimal. No importa cuán pequeño sea el intervalo en esa línea y cuánto lo amplíes, todavía habrá un número infinito de puntos que corresponden a un número infinito de decimales.
Resulta que el conjunto de todos los puntos en una línea continua es un infinito mayor que los números naturales; los matemáticos dicen que hay un número infinito incontable de puntos en la línea (y en el espacio tridimensional). Simplemente no puedes hacer coincidir cada punto de la línea con los números naturales en una correspondencia uno a uno.
Así que hay dos tipos de infinito, y no se detiene ahí, pero lo haré; Sólo se me ha asignado un número finito de palabras para esta columna. Permítanme terminar volviendo a la respuesta de mi padre sobre el espacio: ¿es infinito? Bueno, sí y no.
Si es continua (y algunos físicos piensan que no lo es), contendrá un número infinito de puntos incontables. Pero eso no significa que tenga que durar para siempre. Como descubrió Einstein, puede estar curvado sobre sí mismo para formar un volumen finito.
Esto lo llevó a una observación: «Solo dos cosas son infinitas, el universo y la estupidez humana, y no estoy seguro de la primera.»
