Duffing Diferenciální Rovnice

nejobecnější nuceni podobě Duffing rovnice je

(1)

v Závislosti na zvolené parametry, rovnice může mít řadu speciálních forem. Například bez tlumení a bez vynucení a při znaménku plus se rovnice stane

(2)

(Bender a Orszag 1978, str. 547; Zwillinger 1997, str. 122). Tato rovnice může zobrazovat chaotické chování. Pro rovnice představuje „tvrdou pružinu“ a pro představuje „měkkou pružinu“.“Pokud , křivky fázového portrétu jsou uzavřeny.

Pokud místo toho jsme si , , resetovat hodiny tak, že a znaménkem minus, rovnice je pak

(3)

Toto může být napsáno jako systém prvního řádu obyčejné diferenciální rovnice jako

			(4)
			(5)

(Wiggins 1990, str. 5), která, v nevynucených případě, snižuje k

			(6)
			(7)

(Wiggins 1990, str. 6; Ott 1993, str. 3).

pevné body sada provázaných diferenciálních rovnic jsou dány

(8)

takže , a

			(9)
			(10)

dává . Pevné body jsou proto , , a .

analýza stability pevných bodů může být bod linearizací rovnic. Rozlišování dává

			(11)
			(12)
			(13)

což lze zapsat jako maticová rovnice

(14)

Zkoumání stability bod (0,0):

(15)

(16)

Ale , tak je reálné. Od bude vždy jeden kladný kořen, takže tento pevný bod je nestabilní. Nyní se podívejte na (, 0). Charakteristická rovnice je

(17)

který má kořeny

(18)

Pro , , takže bod je asymptoticky stabilní. Pokud , , takže bod je lineárně stabilní (Wiggins 1990, str. 10). Nicméně, pokud , radikální dává imaginární část a reálná část je , takže bod je nestabilní. Pokud , , který má kladné reálné kořeny, takže bod je nestabilní. Pokud , pak , takže oba kořeny jsou kladné a bod je nestabilní.