nejobecnější nuceni podobě Duffing rovnice je
![]() |
(1)
|
v Závislosti na zvolené parametry, rovnice může mít řadu speciálních forem. Například bez tlumení a bez vynucení a při znaménku plus se rovnice stane
![]() |
(2)
|
(Bender a Orszag 1978, str. 547; Zwillinger 1997, str. 122). Tato rovnice může zobrazovat chaotické chování. Pro rovnice představuje „tvrdou pružinu“ a pro
představuje „měkkou pružinu“.“Pokud
, křivky fázového portrétu jsou uzavřeny.
Pokud místo toho jsme si ,
, resetovat hodiny tak, že
a znaménkem minus, rovnice je pak
![]() |
(3)
|
Toto může být napsáno jako systém prvního řádu obyčejné diferenciální rovnice jako
![]() |
![]() |
![]() |
(4)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(5)
|
(Wiggins 1990, str. 5), která, v nevynucených případě, snižuje k
![]() |
![]() |
![]() |
(6)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(7)
|
(Wiggins 1990, str. 6; Ott 1993, str. 3).
pevné body sada provázaných diferenciálních rovnic jsou dány
![]() |
(8)
|
takže , a
![]() |
![]() |
![]() |
(9)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(10)
|
dává . Pevné body jsou proto
,
, a
.
analýza stability pevných bodů může být bod linearizací rovnic. Rozlišování dává
![]() |
![]() |
![]() |
(11)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(12)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(13)
|
což lze zapsat jako maticová rovnice
![]() |
(14)
|
Zkoumání stability bod (0,0):
![]() |
(15)
|
![]() |
(16)
|
Ale , tak
je reálné. Od
bude vždy jeden kladný kořen, takže tento pevný bod je nestabilní. Nyní se podívejte na (
, 0). Charakteristická rovnice je
![]() |
(17)
|
který má kořeny
![]() |
(18)
|
Pro ,
, takže bod je asymptoticky stabilní. Pokud
,
, takže bod je lineárně stabilní (Wiggins 1990, str. 10). Nicméně, pokud
, radikální dává imaginární část a reálná část je
, takže bod je nestabilní. Pokud
,
, který má kladné reálné kořeny, takže bod je nestabilní. Pokud
, pak
, takže oba kořeny jsou kladné a bod je nestabilní.
zajímavé je, že zvláštní případ bez vynucení,
![]() |
![]() |
![]() |
(19)
|
![]() |
![]() |
![]() |
(20)
|
může být integrován do kvadratury. Rozlišování (19) a připojování (20) dává
![]() |
(21)
|
vynásobením obou stran dává
![]() |
(22)
|
Ale to může být napsáno
![]() |
(23)
|
takže máme invariantní pohybu ,
![]() |
(24)
|
Řešení pro dává
![]() |
(25)
|
![]() |
(26)
|
so
![]() |
(27)
|
(Wiggins 1990, p. 29).
Note that the invariant of motion satisfies
![]() |
(28)
|
![]() |
(29)
|
takže Duffing rovnice oscilátoru jsou dány Hamiltoniansystem