tidsudvidelse: grundlaget for det såkaldte “tvillingeparadoks”
tidligt i studiet af speciel relativitet lærer Studerende om fænomenet tidsudvidelse, dvs.at “bevægelige ure kører langsomt.”De, der korrekt har værdsat det faktum, at al bevægelse er relativ, og som korrekt har værdsat, at Ure måler passagen af fysisk (inklusive biologisk) tid, burde nødvendigvis opleve noget mentalt ubehag ved dette resultat. Når alt kommer til alt, når to observatører passerer hinanden, er forudsigelsen, at begge vil finde den andres ure til at køre langsommere end deres egne. Dette kan godt synes at være umuligt på sit ansigt og derfor at ugyldiggøre hele teorien. Ikke desto mindre viser en detaljeret analyse, der korrekt tager højde for to andre lige så ejendommelige relativistiske effekter—lorentsens sammentrækning og relativiteten af samtidighed—at man kan opbygge en perfekt fornuftig relativistisk verden, hvor alle observatører er enige om de eneste ting, de skal være enige om, herunder detaljerne om lokale begivenheder (f. eks., hvad alles ure læser i et gruppebillede) og den tidsmæssige rækkefølge af kausale sekvenser (f. eks. som kom først, lynet eller torden?)
udsagnet om det såkaldte “tvillingeparadoks”
forvirringen forårsaget af fænomenet tidsudvidelse er længe blevet indkapslet i det såkaldte “tvillingparadoks”, der er anført som følger*:
en af et par tvillinger (den” rejsende tvilling”) rejser til og vender tilbage fra en meget fjern destination med en hastighed, der nærmer sig lysets lys, den anden (den” jordbundne tvilling”) forbliver hjemme. Da begge tvillinger observerer, at den anden tvilling bevæger sig, finder begge, at den anden ældes mindre hurtigt. Dermed, efter deres genforening, begge tvillinger vil forvente-og finde!- den anden tvilling at være yngre. Dette resultat overtræder kravene i en rationel verden, og derfor er særlig relativitet forkert.
* fordi meget forvirring fortsætter den dag i dag om implikationerne af det såkaldte “tvillingeparadoks”, skynder jeg mig utvetydigt at understrege, at det såkaldte “tvillingeparadoks” ikke er et paradoks, at der ikke er nogen kontrovers om dets opløsning (som vi vil se), og at det ikke på nogen måde kaster mistanke om-endsige ugyldiggør-teorien om særlig relativitet.
hvorfor der ikke er noget paradoks
det såkaldte “tvillingeparadoks” løses let ved at bemærke, at der er en fysisk meningsfuld disinction mellem de to tvillingers oplevelser under turen. Den jordbundne tvilling forbliver i en enkelt referenceramme med konstant hastighed hele tiden, mens den rejsende tvilling skal accelerere for at vende rundt og komme hjem. Accelerationen får den rejsende tvilling til at skifte fra en referenceramme med konstant hastighed til en anden og producerer effekter, der kan måles lokalt af den rejsende tvilling i form af inertialkræfter, der kan vælte ting, komprimere fjedre og generelt give genstande vægt. Som et resultat af det faktum, at deres oplevelser er forskellige, er der ingen a priori grund til, at de kommer til den samme konklusion.
NB: den “samme konklusion” jeg henviser til her—den de ikke kommer til!—er den, der henvises til i den næstsidste sætning i udsagnet om det såkaldte “tvillingparadoks” ovenfor, at den anden tvilling viser sig at være yngre. Faktisk ville det være utåleligt for særlig relativitet eller enhver anden fysisk teori at forudsige det fuldstændig uforståelige fund. På den anden side, fordi begge tvillinger faktisk skal være enige om, hvad de finder, kræver vi, at enhver vellykket teori skal være i stand til at redegøre for dette fund fra begge synspunkter.
som det viser sig, er resultatet, at den rejsende tvilling er yngre ved retur end den jordbundne tvilling. Dette forstås let ud fra den jordbundne Tvillings synspunkt, der til enhver tid forbliver i en enkelt, konstant hastighedsreferenceramme, med hensyn til hvilken den rejsende Tvillings ure altid (bortset fra et øjeblik under vendingen) kører langsomt. Men hvordan forstår vi denne konklusion ud fra den rejsende Tvillings synspunkt?
Rumtidsdiagrammer
en af de mest lysende måder at forstå opløsningen af det såkaldte “tvillingeparadoks” er ved at analysere omhyggeligt tegnede, detaljerede rumtidsdiagrammer for specifikke valg af turafstand og hastighed. Jeg har gjort det nedenfor for en tur på tre lightyears foretaget med en hastighed på 3/5 c (giver en relativistisk faktor prisT = 5/4) i begge retninger og med en “turnaround time” af ubetydelig varighed. (Tilnærmelsen af ubetydelig ekspeditionstid kan meget vel føre til anatomisk urealistiske “g-kræfter” (!) og kan lempes på bekostning af yderligere beregningskompleksitet, men det gør ingen kvalitativ forskel i resultatet.)
i dette tilfælde finder den jordbundne tvilling (EBT), at det tager den rejsende tvilling (TT) fem år at nå destinationen og fem år at vende tilbage i alt ti år. I løbet af denne tid kører TT ‘ s ure langsomt med en faktor på 1/liter = 4/5, så TT ældes med otte år, fire år på hvert ben af rejsen, og er derfor to år yngre ved genforeningen.
visningen fra jordens referenceramme
det venstre panel i figuren nedenfor (som du kan klikke på for at åbne en større version i et nyt vindue) viser verdenslinjerne for EBT og TT i jordens referenceramme. Bemærk, at TT når destinationen i en afstand af tre lysår efter en forløbet tid på fem år i denne ramme, og at TT kun er ældet fire år på det tidspunkt. Bemærk også, at skalaen af H-og t-akserne er sådan, at lyset bevæger sig langs linjer i en 45 graders vinkel, dvs., 1 år pr. lysår, og at TT ‘ s verdenslinjer har en større hældning (repræsenterer en lavere hastighed) på 5/3 år pr.lysår.
fordi figuren er tegnet fra jordens referenceramme, repræsenterer vandrette linjer samlinger af begivenheder, der forekommer på samme tid, dvs. “linjer af samtidighed” for EBT. Figuren inkluderer dog også et par linjer af samtidighed i referencerammen for TT som vist i gråt. På grund af relativiteten af samtidighed vippes disse linjer og løber fra nederste venstre til øverste højre under det udgående ben og fra nederste højre til øverste venstre under det indgående ben. I begge tilfælde er hældningen den inverse af TT ‘ s verdenslinje, 3/5 år pr. Bemærk For eksempel, at en af disse linjer indikerer, at i det øjeblik TT sender det tredje årlige signal, vil TT sige, at EBT ‘s ur læser 2,4 år som forventet, da TT siger, at EBT’ s ur “bevæger sig” og derfor kører langsomt. Bemærk endelig, at der er to linjer med samtidighed, der forbinder vendepunktet, en for det udgående ben og en for det indgående ben. De indikerer, at EBT ‘s øjeblik af samtidighed i TT’ s ramme springer hurtigt fra 3,2 år til 6,8 år under vendingen, da TT bevæger sig fra en referenceramme til en anden.
både EBT og TT sender lyssignaler til hinanden med årlige intervaller som vist med henholdsvis de røde og blå linjer, og hver transmission er markeret med nummeret på det år, hvor det blev sendt. Bemærk, at TT kun modtager de to første signaler fra EBT på det udgående ben og modtager alle otte resterende signaler på det indgående ben med det endelige, tiende, signal modtaget på tidspunktet for genforeningen. Bemærk også, at EBT modtager det sidste af de fire udgående signaler (inklusive det fjerde ved vendepunktet) ved år otte og modtager de fire indgående signaler i løbet af kun de sidste to år.
således ser vi, at EBT modtager signaler med en hastighed på et hvert andet år i de første otte år og derefter med en hastighed på to om året i de sidste to år. Dette udgør i alt (1/2)*8 + (2)*2 = 8 signaler modtaget fra TT. På den anden side modtager TT også signaler med en hastighed på et hvert andet år i kun de første fire år og derefter med en hastighed på to om året i de sidste fire år. Dette udgør i alt (1/2)*4 + (2)*4 = 10 signaler modtaget fra EBT.
det er værd at bemærke, at begge tvillinger er enige om, at de modtager signaler med en hastighed på 1/2 om året (lav frekvens), når disse signaler afspejler relativ bevægelse væk fra hinanden, og begge tvillinger er også enige om, at de modtager signaler med en hastighed på 2 om året (høj frekvens), når disse signaler afspejler relativ bevægelse mod hver fra hinanden. Forskellen er, at for TT optager lav-og højfrekvenssignalerne lige store dele af turen, mens for EBT observeres lavfrekvenssignalerne i løbet af 80% af turen.
visningen fra referencerammen for den udgående rejsende
det højre panel i figuren viser verdenslinjerne for EBT og TT i den udgående referenceramme. Bemærk, at genforeningen i denne referenceramme finder sted 12, 5 år efter afrejsen i overensstemmelse med det faktum, at EBT ‘ s ure kører langsomt hele tiden. TT forlader imidlertid denne referenceramme ved turnaraound-punktet fire år ind i turen, når EBT ‘ s ur læser 3,2 år som tidligere nævnt. Bemærk også, at EBT er 2.4 lightyears væk på dette tidspunkt, den største adskillelse af turen i denne ramme, korrekt afspejler Lorents sammentrækning af 3 lightyear afstand observeret i referencerammen af jorden.
på det indgående ben bevæger TT sig med en hastighed på -15/17 c som opnået ved den relativistiske tilføjelse af hastighederne -3/5 c og -3/5 c. i løbet af denne tid kører TT ‘s ure langsomt med en faktor på 1/Kirst = 17/8, hvilket afspejles i det faktum, at det tager lidt over to år for TT’ s ur at gå videre hvert ekstra år. Verdenslinjerne for lyssignalerne vises igen sammen med linjerne for samtidighed for TT, og de bekræfter alle funktioner, der tidligere er bemærket i rumtidsdiagrammet for jordens referenceramme.
forhold til den relativistiske Doppler-effekt og en anden måde at forudsige mængden af differentiel aldring
det er mest interessant at bemærke, at uanset hvilken hastighed der bruges til de udgående og indgående ben, vil TT modtage signaler med en hastighed på fout < fo (transmissionsfrekvensen) for halvdelen af turen og med en hastighed på fin = 1/fout > fo for den anden halvdel. Den gennemsnitlige frekvens er således (fout + fin) / 2, som let vises at være større end fo. Dette sikrer, at TT vil modtage flere signaler under turen, så sender han og vil, derfor, forventer at finde EBT at være ældre ved genforeningen, i perfekt harmoni med, hvad EBT forventer at finde.
faktisk kan man bruge den relativistiske Doppler-formel fout = fo 1/2 direkte til at forudsige den relative aldersforskel. For eksempel med en hastighed på 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5)fo. Følgelig er den gennemsnitlige frekvens modtaget af TT (1/5+5)fo/2 = (13/5)fo, hvilket antyder (korrekt), at EBT vil have alderen 13/5 så meget som TT.