Time dilation: The basis for the so-called “twin paradox”
Early in the study of special relativity students learn about the phenomenon of time dilation, i.e., that “moving clocks run slow.”Aqueles que apreciaram corretamente o fato de que todo movimento é relativo e que apreciaram corretamente que os relógios medem a passagem do tempo físico (incluindo biológico), devem necessariamente experimentar algum desconforto mental neste resultado. Afinal de contas, quando dois observadores passam uns pelos outros, a previsão é que ambos vão encontrar os relógios do outro para correr mais devagar do que os seus próprios. Isso pode parecer impossível e, portanto, invalidar toda a teoria. No entanto, uma análise detalhada que leva em conta dois outros igualmente peculiar efeitos relativistas—a contração de Lorentz e a relatividade da simultaneidade—mostra que pode-se construir uma perfeitamente sensata relativista mundo no qual todos os observadores concordam sobre a única coisas que eles devem chegar a acordo, incluindo os detalhes de eventos locais (e.g., o que todos os relógios lêem em uma imagem de grupo) e a ordem temporal das sequências causais (por exemplo, que veio primeiro, o relâmpago ou o trovão?)
A instrução do chamado “twin paradoxo”
A confusão causada pelo fenômeno da dilatação do tempo tem sido encapsulado no chamado “twin paradoxo” declarou o seguinte:*:
um de um par de gêmeos (o “viajando twin”) viaja para e volta a partir de uma muito distante destino a uma velocidade próxima da luz, o outro (o “Earth-bound twin”) fica em casa. Uma vez que ambos os gêmeos observam o outro gêmeo para se mover, ambos descobrem que o outro está envelhecendo menos rapidamente. Assim, após a reunião, ambos os gêmeos esperam-e encontram!- o outro gémeo para ser mais novo. Este resultado viola as exigências de um mundo racional e, portanto, a relatividade especial está errada.
* Porque muita confusão persiste até hoje sobre as implicações do chamado “twin paradoxo,” apresso-me a enfatizar de forma inequívoca, que o assim chamado “twin paradoxo” não é um paradoxo, é que não há controvérsia sobre sua resolução (como veremos), e que ele é não de qualquer maneira elenco suspeita—deixe sozinho invalidar a teoria da relatividade especial.
Por que não há nenhum paradoxo
O chamado “twin paradoxo” é facilmente resolvido por salientando que existe fisicamente significativa disinction entre as experiências dos dois gêmeos durante a viagem. O gêmeo ligado à terra permanece em um único referencial de velocidade constante durante todo o tempo, enquanto o gêmeo viajante deve acelerar para se virar e voltar para casa. A aceleração faz com que o gêmeo viajante mude de um referencial de velocidade constante para outro e produz efeitos que podem ser medidos localmente pelo gêmeo viajante na forma de forças inerciais que podem derrubar coisas, comprimir molas, e geralmente endow objetos com peso. Como resultado do fato de suas experiências serem diferentes, não há razão a priori para que cheguem à mesma conclusão.
NB: a” mesma conclusão ” a que me refiro aqui—aquela a que não chegam!—é o referido na penúltima frase da declaração do chamado “paradoxo gêmeo” acima, que o outro gêmeo será encontrado para ser mais jovem. Na verdade, seria intolerável para a relatividade especial ou qualquer outra teoria física prever essa descoberta totalmente incompreensível. Por outro lado, porque ambos os gémeos, de facto, têm de chegar a acordo sobre o que encontram, exigimos que qualquer teoria bem sucedida seja capaz de explicar essa conclusão de ambos os pontos de vista.
ao que parece, o resultado é que o gêmeo viajante é mais jovem após o retorno do que o gêmeo ligado à Terra. Isto é facilmente compreendido do ponto de vista do gémeo ligado à terra, que permanece a qualquer momento num único quadro de referência de velocidade constante em relação ao qual os relógios do gémeo viajante estão sempre (excepto por um instante durante a reviravolta) a correr devagar. Mas como entendemos essa conclusão do ponto de vista do gêmeo viajante?
diagramas de espaço-tempo
uma das formas mais esclarecedoras de entender a resolução do chamado “paradoxo dos gêmeos” é analisando cuidadosamente desenhados diagramas de espaço-tempo detalhados para escolhas específicas de distância e velocidade de viagem. Eu fiz isso abaixo para uma viagem de três anos-luz realizada a uma velocidade de 3/5 c (dando um fator relativístico γ = 5/4) em ambos os sentidos e com um “tempo de volta” de duração negligenciável. (The approximation of negligenciable turnaround time may very well lead to anatomically unrealistic “g forces” (!) e pode ser relaxado à custa de complexidade computacional adicional, mas não faz nenhuma diferença qualitativa no resultado.)
neste caso, o gêmeo ligado à Terra (EBT) descobre que leva o gêmeo viajante (TT) cinco anos para chegar ao destino e cinco anos para retornar por um total de dez anos. Durante este tempo os relógios do TT são lentos por um fator de 1/γ = 4/5 de modo que o TT envelhece por oito anos, quatro anos em cada etapa da viagem, e é, portanto, dois anos mais jovem na reunião.
a vista A partir do quadro de referência da Terra
painel esquerdo da figura abaixo (que você pode clicar para abrir uma versão maior em uma nova janela), mostra o worldlines de EBT e o TT no quadro de referência de Terra. Note – se que o TT atinge o destino a uma distância de três anos-luz após um tempo decorrido de cinco anos neste quadro e que o TT envelheceu apenas quatro anos nesse ponto. Note-se também que a escala dos eixos x e t é tal que a luz viaja ao longo das linhas em um ângulo de 45 graus, ou seja:, 1 ano por ano-luz, e que as linhas mundiais do TT têm uma inclinação maior (representando uma velocidade mais baixa) de 5/3 anos por ano-luz.
Porque a figura é desenhada a partir do quadro de referência da Terra, as linhas horizontais representam coleções de eventos que ocorrem ao mesmo tempo, i.é., “linhas de simultaneidade” para a EBT. A figura também, no entanto, inclui algumas linhas de simultaneidade no quadro de referência do TT como mostrado em cinza. Por causa da relatividade da simultaneidade, estas linhas são inclinadas e correm da parte inferior esquerda para a parte superior direita durante a perna de saída e da parte inferior direita para a parte superior esquerda durante a perna de entrada. Em ambos os casos, o declive é o inverso do da linha do mundo do TT, 3/5 anos por ano-luz. Por exemplo, note que uma dessas linhas indica que no momento em que o TT envia o terceiro sinal anual, o TT diria que o relógio do EBT lê 2,4 anos como seria de esperar, uma vez que o TT diz que o relógio do EBT está “em movimento” e, portanto, em execução lenta. Note finalmente que há duas linhas de simultaneidade ligando o ponto de retorno, uma para a perna de saída e outra para a perna de entrada. Eles indicam que o instante de simultaneidade do EBT no quadro do TT salta rapidamente de 3,2 anos para 6,8 anos durante a reviravolta à medida que o TT se move de um quadro de referência para outro.
tanto o EBT como o TT enviam sinais luminosos um para o outro em intervalos anuais, conforme mostrado pelas linhas vermelha e azul, respectivamente, e cada transmissão é marcada com o número do ano em que foi enviada. Note que o TT recebe apenas os dois primeiros sinais do EBT na perna de saída e recebe todos os oito sinais restantes na perna de entrada com o sinal final, décimo, recebido no momento da reunião. Note também que o EBT recebe o último dos quatro sinais de saída (incluindo o quarto no ponto de retorno) no ano oito e recebe os quatro sinais de entrada durante apenas os últimos dois anos.
assim, vemos que o EBT recebe sinais à taxa de um a cada dois anos para os primeiros oito anos e, em seguida, a uma taxa de dois por ano para os últimos dois anos. Isto equivale a um total de (1/2)*8 + (2)*2 = 8 sinais recebidos do TT. Por outro lado, o TT recebe sinais também à taxa de um a cada dois anos apenas para os primeiros quatro anos e, em seguida, a uma taxa de dois por ano para os últimos quatro anos. Isto equivale a um total de (1/2)*4 + (2)*4 = 10 sinais recebidos do EBT.
vale a pena destacar o fato de que ambos os gêmeos concorda que eles recebem sinais a uma taxa de 1/2 por ano (de baixa frequência) quando esses sinais, refletir movimento relativo de distância um do outro e os gêmeos também concorda que eles recebem sinais a uma taxa de 2 por ano (de alta frequência) quando esses sinais, refletir movimento relativo em relação uns com os outros. A diferença é que, para o TT, os sinais de baixa e alta frequência ocupam partes iguais da viagem enquanto, para o EBT, os sinais de baixa frequência são observados durante 80% da viagem.
a visão a partir do quadro de referência do viajante para fora
o painel direito da figura, mostra as linhas mundiais do EBT e do TT no quadro de referência para fora. Note-se que, neste quadro de referência, a reunião ocorre 12,5 anos após a partida, de acordo com o fato de que os relógios do EBT são lentos o tempo todo. O TT, no entanto, deixa este quadro de referência no ponto de viragem quatro anos na viagem, quando o relógio do EBT lê 3,2 anos, como anteriormente observado. Note também que o EBT é 2.4 anos-luz de distância neste momento, a maior separação da viagem neste quadro, refletindo corretamente a contração de Lorentz da distância de 3 anos-luz observada no quadro de referência da Terra.
Na entrada da perna, o TT se move a uma velocidade de -15/17 c obtida a partir da adição relativística de velocidades -3/5 ° c e -3/5-c. Durante esse tempo, o TT do relógios de execução lenta por um fator de 1/γ = 17/8, o que se reflete no fato de que ele dura pouco mais de dois anos para o TT do relógio para avançar cada ano adicional. As linhas mundiais para os sinais de luz são novamente mostradas junto com as linhas de simultaneidade para o TT e eles confirmam todas as características anteriormente anotadas no diagrama de espaço-tempo para o quadro de referência da Terra.
Relação ao efeito Doppler relativístico e outra forma de prever a quantidade de diferencial de envelhecimento
é mais interessante notar que, não importa qual a velocidade que é utilizado para a entrada e saída de pernas, a TT vai receber sinais a uma taxa de fout < fo (a freqüência de transmissão) para a metade da viagem e a uma taxa de fin = 1/fout > fo para a outra metade. Assim, a frequência média é (fout+fin) / 2 que é prontamente mostrado ser maior que fo. Isso garante que o TT receberá mais sinais durante a viagem, então ele envia e, portanto, espera encontrar o EBT para ser mais velho na reunião, em perfeita harmonia com o que o EBT espera encontrar.
na verdade, pode-se usar a fórmula Doppler relativista fout = fo 1/2 diretamente para prever o diferencial de idade relativa. Por exemplo, a uma velocidade de 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5)fo. Assim, a frequência média recebida pelo TT é (1/5+5)fo/2 = (13/5) fo implicando (corretamente) que o EBT terá envelhecido 13/5 tanto quanto o TT.