tidsdilatasjon: grunnlaget for det såkalte «twin paradox»
Tidlig I studiet av spesiell relativitet lærer elevene om fenomenet tidsdilatasjon, dvs.at «bevegelige klokker løper sakte.»De som har riktig verdsatt det faktum at all bevegelse er relativ og som har riktig verdsatt at klokker måler passasjen av fysisk (inkludert biologisk) tid, burde nødvendigvis oppleve noe mentalt ubehag ved dette resultatet. Tross alt når to observatører passerer hverandre, er prediksjonen at begge vil finne den andres klokker å løpe langsommere enn sine egne. Dette kan vel synes å være umulig på ansiktet og derfor å ugyldiggjøre hele teorien. Likevel viser en detaljert analyse som tar hensyn til to andre like særegne relativistiske effekter—Lorentz—sammentrekningen og relativitetens relativitet-at man kan bygge en perfekt fornuftig relativistisk verden der alle observatører er enige om de eneste tingene de må være enige om, inkludert detaljer om lokale hendelser (f. eks., hva alles klokker leser i et gruppebilde) og den tidsmessige rekkefølgen av kausale sekvenser (f. eks.)
uttalelsen av det såkalte «tvillingparadokset»
forvirringen forårsaket av fenomenet tidsutvidelse har lenge vært innkapslet i det såkalte «tvillingparadokset» oppgitt som følger*:
En av et tvillingpar («den reisende tvillingen») reiser til og kommer tilbake fra et svært fjernt reisemål med en hastighet som nærmer seg lyset, den andre (Den «Jordbundne tvillingen») forblir hjemme. Siden begge tvillingene observerer at den andre tvillingen beveger seg, finner begge at den andre blir eldre mindre raskt. Dermed, på deres gjenforening, både tvillinger vil forvente-og finne!- den andre tvillingen skal være yngre. Dette resultatet bryter med kravene til en rasjonell verden, og derfor er spesiell relativitet feil.
* Fordi mye forvirring vedvarer den dag i dag om implikasjonene av det såkalte «tvillingparadokset», skynder jeg meg å understreke utvetydig at det såkalte «tvillingparadokset» ikke er et paradoks, at det ikke er noen kontrovers om dens oppløsning (som vi vil se), og at det ikke på noen måte kaster mistanke på—enn si ugyldiggjør-teorien om spesiell relativitet.
hvorfor det ikke er noe paradoks
det såkalte «tvillingparadokset» løses lett ved å merke seg at det er en fysisk meningsfull disinction mellom opplevelsene til de to tvillingene under turen. Den Jordbundne tvillingen forblir i en enkelt konstant hastighetsreferanseramme hele tiden mens den reisende tvillingen må akselerere for å snu seg og komme hjem. Akselerasjonen får den reisende tvillingen til å skifte fra en konstant hastighetsreferanseramme til en annen og produserer effekter som kan måles lokalt av den reisende tvillingen i form av treghetskrefter som kan slå ting over, komprimere fjærer og generelt gi gjenstander med vekt. Som et resultat av at deres erfaringer er forskjellige, er det ingen forutgående grunn til at de kommer til samme konklusjon.
NB: DEN «samme konklusjonen» jeg refererer til her—den de ikke kommer til!—er den som er nevnt i den nest siste setningen i uttalelsen av det såkalte «tvillingparadokset» ovenfor, at den andre tvillingen vil bli funnet å være yngre. Faktisk ville det være uutholdelig for spesiell relativitet eller annen fysisk teori å forutsi det helt uforståelige funnet. På den annen side, fordi begge tvillingene faktisk må være enige om hva de finner, krever vi at enhver vellykket teori skal kunne redegjøre for det funnet fra begge synspunkt.
som det viser seg, er resultatet at den reisende tvillingen er yngre ved retur enn Den Jordbundne tvillingen. Dette forstås lett ut fra Den Jordbundne tvillingens synspunkt som alltid forblir i en enkelt, konstant hastighetsreferanseramme med hensyn til hvilken den reisende tvillingens klokker alltid (unntatt et øyeblikk under omslaget) kjører sakte. Men hvordan forstår vi at konklusjonen fra synspunkt av reiser tvilling?
Spacetime diagrammer
En av de mest opplysende måter å forstå oppløsningen av den såkalte «twin paradox» er ved å analysere nøye trukket, detaljerte spacetime diagrammer for spesifikke valg av tur avstand og hastighet. Jeg har gjort det under for en tur på tre lysår gjennomført med en hastighet på 3/5 c (som gir en relativistisk faktor γ = 5/4) i begge retninger og med en «behandlingstid» av ubetydelig varighet. (Tilnærming av ubetydelig behandlingstid kan meget vel føre til anatomisk urealistiske» g-krefter» (!) og kan være avslappet på bekostning av ytterligere beregningskompleksitet, men det gir ingen kvalifiserende forskjell i resultatet.)
I dette tilfellet Finner Den Jordbundne tvillingen (EBT) at det tar den reisende tvillingen (TT) fem år å nå målet og fem år å returnere i totalt ti år. I løpet AV denne tiden går tts klokker sakte med en faktor på 1 / γ = 4/5, slik AT TT-alderen er åtte år, fire år på hver etappe av reisen, og er derfor to år yngre på gjenforeningen.
utsikten Fra referanserammen Til Jorden
venstre panel av figuren under (som du kan klikke på for å åpne en større versjon i et nytt vindu), viser verdenslinjene TIL EBT og TT i Referanserammen Til Jorden. Merk at TT når målet i en avstand på tre lysår etter en forløpt tid på fem år i denne rammen, og AT TT har alderen bare fire år på det tidspunktet. Legg også merke til at skalaen til x-og t-aksene er slik at lyset beveger seg langs linjer i en 45 graders vinkel, dvs., 1 år per lysår, og AT tts verdenslinjer har en større skråning (som representerer en lavere hastighet) på 5/3 år per lysår.
fordi figuren er trukket fra Jordens referanseramme, representerer horisontale linjer samlinger av hendelser som oppstår samtidig, dvs. «linjer med simultanitet» for EBT. Figuren inneholder imidlertid også noen få linjer med simultanitet i referanserammen TIL TT som vist i grått. På grunn av relativiteten av samtidighet, disse linjene er vippet og kjøre fra nedre venstre til øvre høyre under utgående ben og fra nedre høyre til øvre venstre under innkommende ben. I begge tilfeller er skråningen den inverse av tts verdenslinje, 3/5 år per lysår. For eksempel, merk at en av disse linjene indikerer at I det øyeblikket TT sender det tredje årlige signalet, VIL TT si AT EBTS klokke leser 2,4 år som det bør forventes siden TT sier AT EBTS klokke «beveger seg» og derfor kjører sakte. Merk til slutt at det er to linjer med simultanitet som knytter vendepunktet, en for utgående ben og en for innkommende ben. DE indikerer at EBTS øyeblikk av simultanitet i tts ramme hopper raskt fra 3,2 år til 6,8 år under omslaget når TT beveger seg fra en referanseramme til en annen.
BÅDE EBT og TT sender lyssignaler til hverandre med årlige intervaller som vist ved henholdsvis de røde og blå linjene, og hver overføring er merket med året det ble sendt. Merk AT TT mottar bare DE to første signalene FRA EBT på utgående etappe og mottar alle åtte gjenværende signaler på innkommende etappe med den endelige, tiende, signal mottatt i øyeblikket av gjenforening. MERK også AT EBT mottar den siste av de fire utgående signalene (inkludert den fjerde ved behandlingspunktet) ved år åtte og mottar de fire innkommende signalene bare de siste to årene.
DERMED ser VI AT EBT mottar signaler med en hastighet på ett hvert annet år i de første åtte årene og deretter med en hastighet på to per år for de siste to årene. Dette utgjør totalt (1/2)*8 + (2)*2 = 8 signaler mottatt fra TT. PÅ DEN annen side MOTTAR TT signaler også med en hastighet på ett hvert annet år for bare de første fire årene og deretter med en hastighet på to per år for de siste fire årene. Dette utgjør totalt (1/2)*4 + (2)*4 = 10 signaler mottatt FRA EBT.
det er vel verdt å merke seg at begge tvillingene er enige om at de mottar signaler med en hastighet på 1/2 per år (lav frekvens) når disse signalene reflekterer relativ bevegelse vekk fra hverandre, og begge tvillingene er også enige om at de mottar signaler med en hastighet på 2 per år (høy frekvens) når disse signalene reflekterer relativ bevegelse mot hverandre fra hverandre. Forskjellen er at for tt opptar lav-og høyfrekvenssignalene like store deler av turen, mens FOR EBT observeres lavfrekvenssignalene under 80% av turen.
utsikten fra referanserammen til den utgående reisende
det høyre panelet i figuren viser verdenslinjene TIL EBT og TT i den utgående referanserammen. Merk at i denne referanserammen finner gjenforeningen sted 12,5 år etter avreise i tråd med AT EBTS klokker går sakte hele tiden. TT forlater imidlertid denne referanserammen ved turnaraound-punktet fire år inn i turen når EBTS klokke leser 3, 2 år som tidligere nevnt. Merk også AT EBT er 2.4 lightyears unna på dette tidspunktet, den største separasjonen av turen i denne rammen, reflekterer Lorentz-sammentrekningen av 3 lightyear-avstanden observert i jordens referanseramme.
PÅ innkommende etappe beveger TT seg med en hastighet på -15 / 17 c som oppnådd fra relativistisk tillegg av hastighetene -3 / 5 c og -3 / 5 c. I løpet av denne tiden går tts klokker sakte med en faktor på 1/γ = 17/8, noe som gjenspeiles i det faktum at DET tar litt over to år for tts klokke å gå videre hvert ekstra år. Verdenslinjene for lyssignalene vises igjen sammen med linjene med simultanitet FOR TT, og de bekrefter hver funksjon som tidligere er nevnt i spacetime-diagrammet for Jordens referanseramme.
Forhold til den relativistiske Dopplereffekten og en annen måte å forutsi mengden differensial aldring
det er mest interessant å merke seg at uansett hvilken hastighet som brukes til utgående og innkommende ben, vil TT motta signaler med en hastighet på fout < fo (overføringsfrekvensen) for halvparten av turen og med en hastighet på fin = 1/fout > fo for den andre halvdelen. Dermed er gjennomsnittsfrekvensen (fout + fin) / 2 som lett vises å være større enn fo. Dette sikrer AT TT vil motta flere signaler i løpet av turen da han sender og vil derfor forvente å finne EBT å være eldre på gjenforeningen, i perfekt harmoni med HVA EBT forventer å finne.
faktisk kan man bruke den relativistiske dopplerformelen fout = fo 1/2 direkte for å forutsi den relative aldersforskjellen. For eksempel, med en hastighet på 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5)fo. Følgelig er gjennomsnittlig frekvens mottatt AV TT (1/5 + 5)fo/2 = (13/5) fo som innebærer (riktig) AT EBT vil ha alderen 13/5 så mye som TT.