Zeitdilatation: Die Grundlage für das sogenannte „Zwillingsparadoxon“
Schon früh im Studium der speziellen Relativitätstheorie lernen die Studierenden das Phänomen der Zeitdilatation kennen, d.h. dass „sich bewegende Uhren langsam laufen.“ Diejenigen, die die Tatsache richtig eingeschätzt haben, dass alle Bewegung relativ ist, und die richtig eingeschätzt haben, dass Uhren den Verlauf der physischen (einschließlich biologischen) Zeit messen, sollten bei diesem Ergebnis notwendigerweise ein gewisses geistiges Unbehagen empfinden. Wenn zwei Beobachter aneinander vorbeifahren, ist die Vorhersage, dass beide die Uhren des anderen langsamer laufen lassen als ihre eigenen. Dies mag auf den ersten Blick unmöglich erscheinen und daher die gesamte Theorie ungültig machen. Nichtsdestotrotz zeigt eine detaillierte Analyse, die zwei andere, ebenso eigentümliche relativistische Effekte — die Lorentz—Kontraktion und die Relativität der Gleichzeitigkeit – richtig berücksichtigt, dass man eine vollkommen vernünftige relativistische Welt aufbauen kann, in der sich alle Beobachter auf die einzigen Dinge einigen, auf die sie sich einigen müssen, einschließlich der Details lokaler Ereignisse (z., was jedermanns Uhren in einem Gruppenbild lesen) und die zeitliche Reihenfolge der Kausalfolgen (z. B. was kam zuerst, der Blitz oder der Donner?)
Die Aussage des sogenannten „Zwillingsparadoxons“
Die Verwirrung, die durch das Phänomen der Zeitdilatation verursacht wird, ist seit langem im sogenannten „Zwillingsparadoxon“ wie folgt zusammengefasst*:
Einer von einem Zwillingspaar (der „reisende Zwilling“) reist zu einem sehr entfernten Ziel und kehrt mit einer Geschwindigkeit zurück, die sich der des Lichts nähert, der andere (der „erdgebundene Zwilling“) bleibt zu Hause. Da beide Zwillinge beobachten, dass sich der andere Zwilling bewegt, stellen beide fest, dass der andere weniger schnell altert. So werden beide Zwillinge bei ihrer Wiedervereinigung erwarten – und finden!-der andere scheint jünger zu sein. Dieses Ergebnis verstößt gegen die Anforderungen einer rationalen Welt und daher ist die spezielle Relativitätstheorie falsch.
* Da bis heute viel Verwirrung über die Implikationen des sogenannten „Zwillingsparadoxons“ besteht, beeile ich mich, unmissverständlich zu betonen, dass das sogenannte „Zwillingsparadoxon“ kein Paradoxon ist, dass es keine Kontroverse über seine Auflösung gibt (wie wir sehen werden) und dass es die spezielle Relativitätstheorie in keiner Weise verdächtigt – geschweige denn entkräftet.
Warum es kein Paradoxon gibt
Das sogenannte „Zwillingsparadoxon“ lässt sich leicht lösen, indem festgestellt wird, dass zwischen den Erfahrungen der beiden Zwillinge während der Reise ein physisch bedeutungsvoller Widerspruch besteht. Der erdgebundene Zwilling bleibt die ganze Zeit in einem einzigen Referenzrahmen mit konstanter Geschwindigkeit, während der reisende Zwilling beschleunigen muss, um sich umzudrehen und nach Hause zu kommen. Die Beschleunigung bewirkt, dass der fahrende Zwilling von einem Referenzrahmen mit konstanter Geschwindigkeit zu einem anderen wechselt, und erzeugt Effekte, die lokal vom fahrenden Zwilling in Form von Trägheitskräften gemessen werden können, die Dinge umwerfen, Federn zusammendrücken und im Allgemeinen Objekte mit Gewicht ausstatten können. Aufgrund der Tatsache, dass ihre Erfahrungen unterschiedlich sind, gibt es keinen a priori Grund für sie, zu demselben Schluss zu kommen.
NB: Die „gleiche Schlussfolgerung“, auf die ich mich hier beziehe – die, zu der sie nicht kommen!— ist derjenige, auf den im vorletzten Satz der obigen Aussage des sogenannten „Zwillingsparadoxons“ Bezug genommen wird, dass der andere Zwilling jünger sein wird. In der Tat wäre es für die spezielle Relativitätstheorie oder eine andere physikalische Theorie unerträglich, diesen völlig unverständlichen Befund vorherzusagen. Auf der anderen Seite, weil beide Zwillinge, tatsächlich, müssen sich darauf einigen, was sie finden, Wir fordern, dass jede erfolgreiche Theorie in der Lage sein sollte, diesen Befund unter beiden Gesichtspunkten zu berücksichtigen.
Wie sich herausstellt, ist das Ergebnis, dass der reisende Zwilling bei seiner Rückkehr jünger ist als der erdgebundene Zwilling. Dies ist leicht aus der Sicht des erdgebundenen Zwillings zu verstehen, der zu jeder Zeit in einem einzigen, konstanten Geschwindigkeitsreferenzrahmen verbleibt, in Bezug auf den die Uhren des reisenden Zwillings immer (mit Ausnahme eines Augenblicks während des Turnarounds) langsam laufen. Aber wie verstehen wir diese Schlussfolgerung aus der Sicht des reisenden Zwillings?
Raumzeitdiagramme
Eine der aufschlussreichsten Möglichkeiten, die Auflösung des sogenannten „Zwillingsparadoxons“ zu verstehen, ist die Analyse sorgfältig gezeichneter, detaillierter Raumzeitdiagramme für spezifische Entscheidungen über die Entfernung und Geschwindigkeit der Reise. Ich habe dies unten für eine Reise von drei Lichtjahren getan, die mit einer Geschwindigkeit von 3/5 c (was einen relativistischen Faktor γ = 5/4 ergibt) in beide Richtungen und mit einer „Umlaufzeit“ von vernachlässigbarer Dauer unternommen wurde. (Die Annäherung der vernachlässigbaren Durchlaufzeit kann sehr wohl zu anatomisch unrealistischen „g-Kräften“ führen (!) und kann auf Kosten zusätzlicher Rechenkomplexität gelockert werden, macht aber keinen qualitativen Unterschied im Ergebnis.)
In diesem Fall stellt der erdgebundene Zwilling (EBT) fest, dass der reisende Zwilling (TT) fünf Jahre braucht, um das Ziel zu erreichen, und fünf Jahre, um insgesamt zehn Jahre zurückzukehren. Während dieser Zeit laufen die Uhren des TT um den Faktor 1 / γ = 4/5 langsamer, so dass der TT um acht Jahre altert, vier Jahre auf jeder Etappe der Reise, und daher bei der Wiedervereinigung zwei Jahre jünger ist.
Die Ansicht vom Referenzrahmen der Erde
Der linke Bereich der Abbildung unten (auf den Sie klicken können, um eine größere Version in einem neuen Fenster zu öffnen) zeigt die Weltlinien des EBT und des TT im Referenzrahmen der Erde. Beachten Sie, dass der TT das Ziel in einer Entfernung von drei Lichtjahren nach einer verstrichenen Zeit von fünf Jahren in diesem Rahmen erreicht und dass der TT zu diesem Zeitpunkt nur vier Jahre gealtert ist. Beachten Sie auch, dass die Skalierung der x- und t-Achsen so ist, dass sich das Licht entlang von Linien in einem Winkel von 45 Grad bewegt, d.h., 1 Jahr pro Lichtjahr, und dass die Weltlinien des TT eine größere Steigung (was einer niedrigeren Geschwindigkeit entspricht) von 5/3 Jahren pro Lichtjahr haben.
Da die Figur aus dem Bezugsrahmen der Erde gezogen wird, stellen horizontale Linien Sammlungen von Ereignissen dar, die gleichzeitig auftreten, d. H. „Linien der Gleichzeitigkeit“ für die EBT. Die Figur enthält jedoch auch einige Zeilen der Gleichzeitigkeit im Referenzrahmen des TT, wie in grau dargestellt. Aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit sind diese Linien gekippt und verlaufen während des ausgehenden Abschnitts von links unten nach rechts oben und während des eingehenden Abschnitts von rechts unten nach links oben. In beiden Fällen ist die Steigung die Umkehrung der Weltlinie des TT, 3/5 Jahre pro Lichtjahr. Beachten Sie zum Beispiel, dass eine dieser Zeilen anzeigt, dass in dem Moment, in dem der TT das dritte jährliche Signal sendet, der TT sagen würde, dass die Uhr des EBT 2,4 Jahre liest, wie zu erwarten ist, da der TT sagt, dass sich die Uhr des EBT „bewegt“ und daher langsam läuft. Beachten Sie schließlich, dass es zwei Gleichzeitigkeitslinien gibt, die den Wendepunkt verbinden, eine für die ausgehende und eine für die eingehende Etappe. Sie weisen darauf hin, dass der Gleichzeitigkeitszeitpunkt des EBT im TT-Rahmen während des Turnarounds schnell von 3,2 Jahren auf 6,8 Jahre springt, wenn sich der TT von einem Referenzrahmen zum anderen bewegt.
Sowohl der EBT als auch der TT senden sich in jährlichen Abständen Lichtsignale, wie durch die roten bzw. blauen Linien dargestellt, und jede Übertragung ist mit der Nummer des Jahres gekennzeichnet, in dem sie gesendet wurde. Beachten Sie, dass der TT nur die ersten beiden Signale vom EBT auf der ausgehenden Strecke empfängt und alle acht verbleibenden Signale auf der eingehenden Strecke mit dem letzten, zehnten Signal empfängt, das zum Zeitpunkt der Wiedervereinigung empfangen wurde. Beachten Sie auch, dass das EBT das letzte der vier ausgehenden Signale (einschließlich des vierten am Wendepunkt) im achten Jahr und die vier eingehenden Signale nur in den letzten zwei Jahren empfängt.
Wir sehen also, dass der EBT in den ersten acht Jahren alle zwei Jahre Signale mit einer Rate von einem und in den letzten zwei Jahren mit einer Rate von zwei pro Jahr empfängt. Dies entspricht insgesamt (1/2)*8 + (2)*2 = 8 signale vom TT empfangen. Andererseits empfängt der TT Signale auch nur in den ersten vier Jahren alle zwei Jahre mit einer Rate von einem und dann in den letzten vier Jahren mit einer Rate von zwei pro Jahr. Dies entspricht insgesamt (1/2)*4 + (2)*4 = 10 signale vom EBT empfangen.
Es ist erwähnenswert, dass beide Zwillinge zustimmen, dass sie Signale mit einer Rate von 1/2 pro Jahr (niedrige Frequenz) empfangen, wenn diese Signale eine relative Bewegung voneinander weg reflektieren, und beide Zwillinge stimmen auch zu, dass sie Signale mit einer Rate von 2 pro Jahr (hohe Frequenz) empfangen, wenn diese Signale eine relative Bewegung zueinander reflektieren. Der Unterschied besteht darin, dass für den TT die Nieder- und Hochfrequenzsignale gleiche Teile der Reise einnehmen, während für den EBT die Niederfrequenzsignale während 80% der Reise beobachtet werden.
Die Ansicht aus dem Referenzrahmen des ausgehenden Reisenden
Das rechte Feld der Abbildung zeigt die Weltlinien des EBT und des TT im ausgehenden Referenzrahmen. Beachten Sie, dass in diesem Referenzrahmen die Wiedervereinigung 12,5 Jahre nach der Abreise stattfindet, da die Uhren des EBT die ganze Zeit langsam laufen. Die TT verlässt diesen Referenzrahmen jedoch vier Jahre nach Beginn der Fahrt am Wendepunkt, wenn die EBT-Uhr wie zuvor erwähnt 3,2 Jahre anzeigt. Beachten Sie auch, dass der EBT 2 ist.4 Lichtjahre entfernt zu diesem Zeitpunkt die größte Trennung der Reise in diesem Rahmen, die die Lorentz-Kontraktion der 3 Lichtjahre Entfernung, die im Referenzrahmen der Erde beobachtet wurde, richtig widerspiegelt.
Auf der einlaufenden Etappe bewegt sich der TT mit einer Geschwindigkeit von -15 / 17c, wie sie sich aus der relativistischen Addition der Geschwindigkeiten -3 / 5c und -3 / 5c ergibt. Während dieser Zeit laufen die Uhren des TT um den Faktor 1 / γ = 17/8 langsam, was sich darin widerspiegelt, dass es etwas mehr als zwei Jahre dauert, bis die Uhr des TT jedes weitere Jahr vorrückt. Die Weltlinien für die Lichtsignale werden wieder zusammen mit den Linien der Gleichzeitigkeit für die TT gezeigt und sie bestätigen jedes Merkmal, das zuvor im Raumzeitdiagramm für den Referenzrahmen der Erde notiert wurde.
Beziehung zum relativistischen Dopplereffekt und eine andere Möglichkeit, den Betrag der differentiellen Alterung vorherzusagen
Es ist sehr interessant festzustellen, dass der TT unabhängig von der Geschwindigkeit, die für die ausgehenden und eingehenden Beine verwendet wird, Signale mit einer Rate von fout < fo (die Übertragungsfrequenz) für die Hälfte der Reise und mit einer Rate von fin = 1 / fout > fo für die andere Hälfte empfängt. Somit beträgt die mittlere Frequenz (fout + fin) / 2, was leicht als größer als fo gezeigt wird. Dies stellt sicher, dass der TT während der Reise mehr Signale empfängt als er sendet, und erwartet daher, dass der EBT bei der Wiedervereinigung älter ist, in perfekter Harmonie mit dem, was der EBT erwartet.
Tatsächlich kann man die relativistische Dopplerformel fout = fo 1/2 direkt verwenden, um das relative Altersdifferential vorherzusagen. Zum Beispiel bei einer Geschwindigkeit von 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5)fo. Dementsprechend ist die durchschnittliche Frequenz, die der TT empfängt, (1/5 + 5) fo / 2 = (13/5) fo, was (korrekt) impliziert, dass der EBT 13/5 so alt ist wie der TT.