Équation Différentielle Duffing

La forme forcée la plus générale de l’équation de Duffing est

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Selon les paramètres choisis, l’équation peut prendre un certain nombre de formes spéciales. Par exemple, sans amortissement et sans forçage, et en prenant le signe plus, l’équation devient

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( Bender et Orszag 1978, p. 547; Zwillinger 1997, p. 122). Cette équation peut afficher un comportement chaotique. Pour , l’équation représente un « ressort dur » et pour , elle représente un « ressort mou. » Si , les courbes de portrait de phase sont fermées.

Si à la place nous prenons , , réinitialisez l’horloge de sorte que , et utilisez le signe moins, l’équation est alors

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Cela peut être écrit comme un système d’équations différentielles ordinaires du premier ordre comme

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( Wiggins 1990, p. 5) qui, dans le cas non forcé, se réduit à

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( Wiggins 1990, p. 6; Ott 1993, p. 3).

Les points fixes de cet ensemble d’équations différentielles couplées sont donnés par

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donc , et

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donner . Les points fixes sont donc , , et .

L’analyse de la stabilité des points fixes peut être ponctuelle en linéarisant les équations. Différencier donne

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qui peut s’écrire comme l’équation matricielle

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Examen de la stabilité du point (0,0):

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Mais , donc est réel. Puisque , il y aura toujours une racine positive, donc ce point fixe est instable. Regardez maintenant (, 0). L’équation caractéristique est

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qui a des racines

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Pour , , le point est donc asymptotiquement stable. Si , , donc le point est linéairement stable (Wiggins 1990, p. 10). Cependant, si , le radical donne une partie imaginaire et la partie réelle est , donc le point est instable. Si , , qui a une racine réelle positive, donc le point est instable. Si , alors , donc les deux racines sont positives et le point est instable.

Fait intéressant, le cas particulier sans forçage,

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peut être intégré par quadratures. Différencier (19) et enficher (20) donne

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Multipliant les deux côtés par donne

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Mais cela peut être écrit

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nous avons donc un invariant de mouvement ,

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Résolution pour donne

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so

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(Wiggins 1990, p. 29).

Note that the invariant of motion satisfies

(28)

(29)

ainsi, les équations de l’oscillateur de Duffing sont données par le système hamiltonien