Dilatation du temps: La base du soi-disant « paradoxe des jumeaux »
Au début de l’étude de la relativité restreinte, les étudiants apprennent le phénomène de dilatation du temps, c’est-à-dire que « les horloges en mouvement fonctionnent lentement. »Ceux qui ont bien compris le fait que tout mouvement est relatif et qui ont bien compris que les horloges mesurent le passage du temps physique (y compris biologique), devraient nécessairement éprouver un certain inconfort mental à ce résultat. Après tout, lorsque deux observateurs se croisent, la prédiction est que les deux trouveront que les horloges de l’autre fonctionneront plus lentement que les leurs. Cela pourrait bien sembler impossible à première vue et, par conséquent, invalider toute la théorie. Néanmoins, une analyse détaillée qui prend correctement en compte deux autres effets relativistes tout aussi particuliers — la contraction de Lorentz et la relativité de la simultanéité – montre que l’on peut construire un monde relativiste parfaitement sensé dans lequel tous les observateurs s’accordent sur les seules choses sur lesquelles ils doivent s’entendre, y compris les détails des événements locaux (par ex., ce que les montres de tout le monde lisent dans une image de groupe) et l’ordre temporel des séquences causales (par exemple, qui est venu en premier, la foudre ou le tonnerre?)
L’énoncé du soi-disant « paradoxe jumeau »
La confusion causée par le phénomène de dilatation du temps a longtemps été encapsulée dans le soi-disant « paradoxe jumeau » énoncé comme suit*:
L’un d’une paire de jumeaux (le « jumeau voyageur ») se rend et revient d’une destination très lointaine à une vitesse proche de celle de la lumière l’autre (le « jumeau lié à la Terre ») reste chez lui. Puisque les deux jumeaux observent que l’autre jumeau se déplace, les deux constatent que l’autre vieillit moins rapidement. Ainsi, lors de leurs retrouvailles, les deux jumeaux s’attendront — et trouveront!- l’autre jumeau plus jeune. Ce résultat viole les exigences d’un monde rationnel et, par conséquent, la relativité restreinte est fausse.
* Parce qu’une grande confusion persiste à ce jour sur les implications du soi-disant « paradoxe des jumeaux », je m’empresse de souligner sans équivoque que le soi-disant « paradoxe des jumeaux » n’est pas un paradoxe, qu’il n’y a pas de controverse sur sa résolution (comme nous le verrons), et qu’il ne jette en aucun cas de suspicion — encore moins invalide — la théorie de la relativité restreinte.
Pourquoi il n’y a pas de paradoxe
Le soi-disant « paradoxe des jumeaux » est facilement résolu en notant qu’il existe une désinction physiquement significative entre les expériences des deux jumeaux pendant le voyage. Le jumeau lié à la Terre reste dans un seul repère de vitesse constante tout le temps tandis que le jumeau mobile doit accélérer pour faire demi-tour et rentrer à la maison. L’accélération amène le jumeau mobile à passer d’un référentiel de vitesse constante à un autre et produit des effets qui peuvent être mesurés localement par le jumeau mobile sous la forme de forces d’inertie qui peuvent renverser des objets, comprimer des ressorts et généralement donner du poids à des objets. Du fait que leurs expériences sont différentes, il n’y a pas de raison a priori pour qu’ils arrivent à la même conclusion.
NB: La « même conclusion » à laquelle je me réfère ici — celle à laquelle ils ne viennent pas!- est celui mentionné dans l’avant-dernière phrase de l’énoncé du soi-disant « paradoxe des jumeaux » ci-dessus, selon lequel l’autre jumeau sera plus jeune. En effet, il serait intolérable pour la relativité restreinte ou toute autre théorie physique de prédire cette découverte totalement incompréhensible. D’un autre côté, parce que les deux jumeaux, en fait, doivent s’entendre sur ce qu’ils trouvent, nous exigeons que toute théorie réussie soit en mesure de rendre compte de cette découverte de l’un ou l’autre point de vue.
Il s’avère que le jumeau voyageur est plus jeune au retour que le jumeau lié à la Terre. Ceci est facilement compris du point de vue du jumeau lié à la Terre qui reste à tout moment dans un seul référentiel de vitesse constante par rapport auquel les horloges du jumeau mobile sont toujours (sauf pendant un instant pendant le retournement) lentes. Mais comment comprenons-nous cette conclusion du point de vue du jumeau voyageur?
Diagrammes d’espace-temps
L’une des façons les plus éclairantes de comprendre la résolution du soi-disant « paradoxe des jumeaux » consiste à analyser des diagrammes d’espace-temps soigneusement dessinés et détaillés pour des choix spécifiques de distance et de vitesse de déplacement. Je l’ai fait ci-dessous pour un voyage de trois années-lumière entrepris à une vitesse de 3/5 c (donnant un facteur relativiste γ = 5/4) dans les deux sens et avec un « temps de rotation » de durée négligeable. (L’approximation d’un délai d’exécution négligeable peut très bien conduire à des « forces g » anatomiquement irréalistes (!) et peut être assoupli au détriment d’une complexité de calcul supplémentaire, mais cela ne fait aucune différence qualitative dans le résultat.)
Dans ce cas, le jumeau relié à la Terre (EBT) constate qu’il faut cinq ans au jumeau voyageur (TT) pour atteindre la destination et cinq ans pour revenir pour un total de dix ans. Pendant ce temps, les horloges du TT ralentissent d’un facteur 1/γ = 4/5 de sorte que le TT vieillit de huit ans, quatre ans à chaque étape du voyage, et est donc deux ans plus jeune à la réunion.
La vue depuis le référentiel de la Terre
Le panneau de gauche de la figure ci-dessous (sur lequel vous pouvez cliquer pour ouvrir une version plus grande dans une nouvelle fenêtre), montre les lignes du monde de l’EBT et du TT dans le référentiel de la Terre. Notez que le TT atteint la destination à une distance de trois années-lumière après un temps écoulé de cinq ans dans ce cadre et que le TT n’a vieilli que quatre ans à ce moment-là. Notez également que l’échelle des axes x et t est telle que la lumière se déplace le long de lignes à un angle de 45 degrés, i.e., 1 an par année-lumière, et que les lignes du monde du TT ont une plus grande pente (représentant une vitesse inférieure) de 5/3 ans par année-lumière.
Parce que la figure est tirée du cadre de référence de la Terre, les lignes horizontales représentent des ensembles d’événements qui se produisent en même temps, c’est-à-dire des « lignes de simultanéité » pour l’EBT. Cependant, la figure comprend également quelques lignes de simultanéité dans le référentiel du TT comme illustré en gris. En raison de la relativité de la simultanéité, ces lignes sont inclinées et vont du bas à gauche vers le haut à droite pendant la jambe sortante et du bas à droite vers le haut à gauche pendant la jambe entrante. Dans les deux cas, la pente est l’inverse de celle de la ligne mondiale du TT, 3/5 ans par année-lumière. Par exemple, notez que l’une de ces lignes indique qu’au moment où le TT envoie le troisième signal annuel, le TT dirait que l’horloge de l’EBT lit 2,4 ans comme il faut s’y attendre puisque le TT dit que l’horloge de l’EBT « bouge » et, par conséquent, tourne lentement. Notez enfin qu’il existe deux lignes de simultanéité reliant le point de retournement, une pour la jambe sortante et une pour la jambe entrante. Ils indiquent que l’instant de simultanéité de l’EBT dans le cadre du TT passe rapidement de 3,2 ans à 6,8 ans pendant le retournement lorsque le TT passe d’un cadre de référence à un autre.
L’EBT et le TT s’envoient des signaux lumineux à intervalles annuels, comme le montrent les lignes rouge et bleue respectivement, et chaque transmission est marquée du numéro de l’année à laquelle elle a été envoyée. Notez que le TT ne reçoit que les deux premiers signaux de l’EBT sur la jambe sortante et reçoit les huit signaux restants sur la jambe entrante avec le dernier, dixième, signal reçu au moment de la réunion. Il convient également de noter que l’EBT reçoit le dernier des quatre signaux sortants (y compris le quatrième au point de retournement) à la huitième année et reçoit les quatre signaux entrants uniquement au cours des deux dernières années.
Ainsi, nous voyons que l’EBT reçoit des signaux au rythme d’un tous les deux ans pendant les huit premières années, puis au rythme de deux par an pendant les deux dernières années. Cela représente un total de (1/2)*8 + (2)*2 = 8 signaux reçus du TT. D’autre part, le TT reçoit également des signaux à raison d’un tous les deux ans pendant seulement les quatre premières années, puis à raison de deux par an pendant les quatre dernières années. Cela représente un total de (1/2)*4 + (2)*4 = 10 signaux reçus de l’EBT.
Il convient de noter le fait que les deux jumeaux conviennent qu’ils reçoivent des signaux à un rythme de 1/2 par an (basse fréquence) lorsque ces signaux reflètent un mouvement relatif s’éloignant l’un de l’autre et que les deux jumeaux conviennent également qu’ils reçoivent des signaux à un rythme de 2 par an (haute fréquence) lorsque ces signaux reflètent un mouvement relatif l’un vers l’autre. La différence est que, pour le TT, les signaux basse et haute fréquence occupent des portions égales du trajet tandis que, pour l’EBT, les signaux basse fréquence sont observés pendant 80% du trajet.
La vue depuis le référentiel du voyageur sortant
Le panneau de droite de la figure montre les lignes du monde de l’EBT et du TT dans le référentiel sortant. Notez que, dans ce référentiel, la réunion a lieu 12,5 ans après le départ en accord avec le fait que les horloges de l’EBT tournent lentement tout le temps. Le TT, cependant, quitte ce cadre de référence au point de turnaraound quatre ans après le voyage lorsque l’horloge de l’EBT indique 3,2 ans comme indiqué précédemment. Notez également que l’EBT est de 2.4 années-lumière à ce moment, la plus grande séparation du voyage dans ce cadre, reflétant correctement la contraction de Lorentz de la distance de 3 années-lumière observée dans le cadre de référence de la Terre.
Sur la jambe entrante, le TT se déplace à une vitesse de -15 / 17c obtenue par l’addition relativiste des vitesses -3/5c et -3/ 5c. Pendant ce temps, les horloges du TT tournent lentement d’un facteur 1/ γ = 17/8, ce qui se traduit par le fait qu’il faut un peu plus de deux ans pour que l’horloge du TT avance chaque année supplémentaire. Les lignes du monde pour les signaux lumineux sont à nouveau représentées avec les lignes de simultanéité pour le TT et elles confirment toutes les caractéristiques précédemment notées dans le diagramme d’espace-temps pour le référentiel de la Terre.
Relation avec l’effet Doppler relativiste et une autre façon de prédire la quantité de vieillissement différentiel
Il est très intéressant de noter que, quelle que soit la vitesse utilisée pour les jambes sortante et entrante, le TT recevra des signaux à un taux de fout < fo (la fréquence de transmission) pour la moitié du trajet et à un taux de fin = 1/ fout > fo pour l’autre moitié. Ainsi, la fréquence moyenne est (fout + fin)/2 ce qui se montre aisément supérieur à fo. Cela garantit que le TT recevra plus de signaux pendant le voyage qu’il envoie et s’attend donc à ce que l’EBT soit plus âgé à la réunion, en parfaite harmonie avec ce que l’EBT attend de trouver.
En effet, on peut utiliser la formule Doppler relativiste fout = fo 1/2 directement pour prédire le différentiel d’âge relatif. Par exemple, à une vitesse de 12/13 c, fout = fo 1/2 = (1/5) fo. En conséquence, la fréquence moyenne reçue par le TT est (1/5 + 5) fo/2 = (13/5) fo ce qui implique (à juste titre) que l’EBT aura vieilli 13/5 autant que le TT.