Duffing differenciálegyenlet

a Duffing egyenlet legáltalánosabb kényszerített formája

(1)

a választott paraméterektől függően az egyenlet számos speciális formát ölthet. Például csillapítás és kényszerítés nélkül és a pluszjelet figyelembe véve az egyenlet a következő lesz

(2)

(Bender és Orsag 1978, 547. o.; Zwillinger 1997, 122. o.). Ez az egyenlet kaotikus viselkedést mutathat. esetén az egyenlet “kemény rugót”, esetén pedig “puha rugót” jelent.”Ha , a fázis portré görbék zárva vannak.

ha ehelyett vesszük , , állítsa vissza az órát úgy, hogy , és használja a mínuszjelet, akkor az egyenlet

(3)

ez lehet írni, mint egy rendszer elsőrendű rendes differenciálegyenletek, mint

			(4)
			(5)

(Wiggins 1990, 5. o.), amely kényszerítetlen esetben a következőkre redukálódik

			(6)
			(7)

(Wiggins 1990, 6. o.; Ott 1993, 3. o.).

a kapcsolt differenciálegyenletek ezen halmazának rögzített pontjait a

(8)

tehát , és

			(9)
			(10)

ad . A rögzített pontok tehát , , és .

a rögzített pontok stabilitásának elemzése pont lehet az egyenletek linearizálásával. Differenciáló ad

			(11)
			(12)
			(13)

amely lehet írni, mint a mátrix egyenlet

(14)

a pont stabilitásának vizsgálata (0,0):

(15)

(16)

de , tehát valódi. Mivel , mindig lesz egy pozitív gyökér, tehát ez a fix pont instabil. Most nézd meg (, 0). A jellemző egyenlet

(17)

amelynek gyökerei vannak

(18)

mert , , tehát a pont aszimptotikusan stabil. Ha , , tehát a pont lineárisan stabil (Wiggins 1990, 10. o.). Ha azonban , a gyök egy képzeletbeli részt ad, a valós rész pedig , tehát a pont instabil. Ha , , amelynek pozitív valós gyökere van, tehát a pont instabil. Ha , akkor , tehát mindkét gyökér pozitív és a pont instabil.