Duffing Differensialligning

den mest generelle tvunget form Av Duffing ligningen er

(1)

Avhengig av parametrene som er valgt, kan ligningen ta en rekke spesielle former. For eksempel, uten demping og ingen tvang, og tar plustegnet, blir ligningen

(2)

(Bender Og Orszag 1978, s. 547; Zwillinger 1997, s. 122). Denne ligningen kan vise kaotisk oppførsel. For representerer ligningen en «hard fjær», og for representerer den en «myk fjær».»Hvis , er faseportrettkurvene stengt.

hvis vi i stedet tar , , tilbakestill klokken slik at , og bruk minustegnet, er ligningen da

(3)

dette kan skrives som et system av førsteordens ordinære differensialligninger som

			(4)
			(5)

( Wiggins 1990, s. 5) som i det uforstyrrede tilfellet reduserer til

			(6)
			(7)

(Wiggins 1990, s. 6; Ott 1993, s. 3).

de faste punktene i dette settet av koblede differensialligninger er gitt ved

(8)

så , og

			(9)
			(10)

gir . De faste punktene er derfor , , og .

Analyse av stabiliteten til de faste punktene kan være punkt ved å linearisere ligningene. Differensiering gir

			(11)
			(12)
			(13)

som kan skrives som matriseligningen

(14)

Undersøker stabiliteten til punktet (0,0):

(15)

(16)

men , så er ekte. Siden , vil det alltid være en positiv rot, så dette faste punktet er ustabilt. Se nå på (, 0). Den karakteristiske ligningen er

(17)

som har røtter

(18)

for , , så er punktet asymptotisk stabilt. Hvis , , så punktet er lineært stabilt (Wiggins 1990, s. 10). Men hvis , radikalet gir en imaginær del og den virkelige delen er , så punktet er ustabilt. Hvis , , som har en positiv reell rot, så poenget er ustabilt. Hvis , så , så begge røttene er positive og punktet er ustabilt.